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行列のノルムと条件数

ベクトルの $1$・$2$・$\infty$ ノルムから誘導される行列ノルム（列和最大・行和最大、対称行列なら $\Vert A{\Vert }_2=\max |\lambda |$）を求め、条件数 $\kappa (A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$ を計算できる

前提

• 対称行列の直交対角化 （大学数学 線形代数）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 使うノルム（$1$・$2$・$\infty$ のどれか）を確認する。条件数では $\Vert A\Vert$ と $\Vert A^{-1}\Vert$ に同じノルムを使う

2. $\Vert A\Vert$ を求める。$\Vert A{\Vert }_1={\max }_j{\sum }_i|a_{ij}|$（絶対値の列和の最大）、$\Vert A{\Vert }_{\infty }={\max }_i{\sum }_j|a_{ij}|$（絶対値の行和の最大）、$A$ が実対称なら $\Vert A{\Vert }_2={\max }_i|{\lambda }_i|$

3. $\det A\ne 0$ を確かめてから $A^{-1}$ を求め、同じノルムで $\Vert A^{-1}\Vert$ を計算する。実対称で $2$ ノルムなら、$A^{-1}$ の固有値は $1/{\lambda }_i$ なので $\Vert A^{-1}{\Vert }_2=1/{\min }_i|{\lambda }_i|$

4. 条件数 $\kappa (A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$ を計算する（実対称・$2$ ノルムなら ${\kappa }_2(A)=\max |{\lambda }_i|/\min |{\lambda }_i|$）

例題

よくある誤り

• 成分を絶対値にせずに足してしまう誤り。$A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 4\end{array}\right)$ の第 1 行を $1+(-2)=-1$ としてはいけない。正しくは $|1|+|-2|=3$ で、$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\max (3,7)=7$

• $1$ ノルムと $\infty$ ノルムの行・列を取り違える誤り。正しくは $\Vert A{\Vert }_1$ が列和の最大、$\Vert A{\Vert }_{\infty }$ が行和の最大。$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ では $\Vert A{\Vert }_1=\max (4,6)=6$、$\Vert A{\Vert }_{\infty }=7$

• 対称でない行列にも $\Vert A{\Vert }_2=\max |\lambda |$ を使ってしまう誤り。$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ の固有値は $1$ だけだが、$A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ の長さは $\sqrt{2}$ なので、$\Vert A{\Vert }_2\ge \sqrt{2}>1$ となる。この公式は実対称行列に限って使える。また対称行列でも絶対値をとり忘れないこと。固有値が $3,-5$ なら $\Vert A{\Vert }_2=5$ で、$3$ ではない

• $\Vert A^{-1}\Vert$ を $1/\Vert A\Vert$ としてしまう誤り。そうすると $\kappa$ はいつも $1$ になってしまう。正しくは $A^{-1}$ を実際に求めてからノルムを計算する。例題では $1/\Vert A{\Vert }_{\infty }=\frac{1}{7}$ だが、$\Vert A^{-1}{\Vert }_{\infty }=3$ である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  実数を成分とする対称行列
  $$A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$$
  を考える。ベクトルのユークリッドノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ から誘導される行列ノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ に関する $A$ の条件数
  $${\kappa }_2(A)=\Vert A{\Vert }_2\Vert A^{-1}{\Vert }_2$$
  を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  実数を成分とする行列
  $$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$$
  を考える。ベクトルの $1$ ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1={\sum }_i|x_i|$ から誘導される行列ノルムを $\Vert \cdot {\Vert }_1$ とする。このノルムに関する $A$ の条件数
  $${\kappa }_1(A)=\Vert A{\Vert }_1\Vert A^{-1}{\Vert }_1$$
  を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  実数を成分とする行列
  $$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
  を考える。ベクトルの $1$ ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|$ から誘導される行列ノルム $\Vert \cdot {\Vert }_1$ に関する $A$ の条件数
  $${\kappa }_1(A)=\Vert A{\Vert }_1\Vert A^{-1}{\Vert }_1$$
  を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  実数を成分とする行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$ を考える。ベクトルの最大値ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }={\max }_i|x_i|$ から誘導される行列ノルム（行和ノルム） $$\Vert M{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\sum _j|m_{ij}|$$ を用いて定めた条件数 $${\kappa }_{\infty }(A)=\Vert A{\Vert }_{\infty }\Vert A^{-1}{\Vert }_{\infty }$$ の値を求めよ。

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  $n\ge 2$ とし、$A=(a_{ij})$ を $n$ 次実正方行列で、狭義の行対角優位、すなわち
  $$|a_{ii}|>\sum _{j\ne i}|a_{ij}|(i=1,2,\dots ,n)$$
  を満たすものとする。$A=D-L-U$ と分解する。ここで $D$ は $A$ の対角成分からなる対角行列、$-L$ は $A$ の狭義下三角部分（$j<i$ の成分 $a_{ij}$ だけを残した行列）、$-U$ は $A$ の狭義上三角部分（$j>i$ の成分だけを残した行列）である。ヤコビ法とガウス・ザイデル法の反復行列をそれぞれ
  $$M_J=D^{-1}(L+U),M_G=(D-L{)}^{-1}U$$
  とする。ベクトルの最大値ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\max }_i|x_i|$ と、それから誘導される行列ノルム $\Vert M{\Vert }_{\infty }={\max }_{\Vert x{\Vert }_{\infty }=1}\Vert Mx{\Vert }_{\infty }$ を用いる。このとき
  $$\Vert M_G{\Vert }_{\infty }\le \Vert M_J{\Vert }_{\infty }<1$$
  が成り立つことを証明せよ。ただし、誘導ノルムについて $\Vert M{\Vert }_{\infty }={\max }_i{\sum }_j|m_{ij}|$（最大行和）となることは用いてよい。