数値解析の問題

実数を成分とする行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
を考える。ベクトルの $1$ ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|$ から誘導される行列ノルム $\Vert \cdot {\Vert }_1$ に関する $A$ の条件数
$${\kappa }_1(A)=\Vert A{\Vert }_1\Vert A^{-1}{\Vert }_1$$
を求めよ。

実数を成分とする行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$$
を考える。ベクトルの $1$ ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1={\sum }_i|x_i|$ から誘導される行列ノルムを $\Vert \cdot {\Vert }_1$ とする。このノルムに関する $A$ の条件数
$${\kappa }_1(A)=\Vert A{\Vert }_1\Vert A^{-1}{\Vert }_1$$
を求めよ。

実数を成分とする対称行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$$
を考える。ベクトルのユークリッドノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ から誘導される行列ノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ に関する $A$ の条件数
$${\kappa }_2(A)=\Vert A{\Vert }_2\Vert A^{-1}{\Vert }_2$$
を求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ -1& 3& -1\\ 0& -1& 3\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D+L+U$（$D$ は対角部分、$L$ は狭義下三角部分、$U$ は狭義上三角部分）と分解する。このとき、ガウス・ザイデル法
$${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-(D+L{)}^{-1}U{\mathbf{x}}^{(k)}+(D+L{)}^{-1}\mathbf{b}(k=0,1,2,\dots )$$
の反復行列 $G=-(D+L{)}^{-1}U$ のスペクトル半径 $\rho (G)$（固有値の絶対値の最大値）を求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$
であるとする。$A$ を対角行列 $D$、対角成分が $0$ の下三角行列 $L$、対角成分が $0$ の上三角行列 $U$ を用いて $A=D-L-U$ と分解する。ヤコビ法の反復行列 $B_J=D^{-1}(L+U)$ のスペクトル半径 $\rho (B_J)$ と、ガウス・ザイデル法の反復行列 $B_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ のスペクトル半径 $\rho (B_{GS})$ を、この順に組 $(\rho (B_J),\rho (B_{GS}))$ で求めよ。ただし、行列 $B$ のスペクトル半径 $\rho (B)$ は $B$ の固有値の絶対値の最大値とする。