ベクトル解析の問題

方針 曲面 $z=f(x,y)$ の面積は、面積要素 $dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$ を、曲面を $xy$ 平面に正射影した領域 $D$ 上で積分すれば求められる。

手順 1：媒介変数表示と法線ベクトル $f(x,y)=\frac{4}{3}{x}^{3/2}$ とおく。$S$ は $x,y$ を媒介変数として
$$\mathbf{r}(x,y)=\left(x,y,\frac{4}{3}{x}^{3/2}\right),D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 3\}$$
と表せる。偏微分すると
$${\mathbf{r}}_x=(1,0,2x^{1/2}),{\mathbf{r}}_y=(0,1,0)$$
である（$f_x=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}{x}^{1/2}=2\sqrt{x}$, $f_y=0$）。外積は
$${\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y=(0\cdot 0-2\sqrt{x}\cdot 1,2\sqrt{x}\cdot 0-1\cdot 0,1\cdot 1-0\cdot 0)=(-2\sqrt{x},0,1)$$
となり、これが $S$ の法線ベクトルである。一般に $(-f_x,-f_y,1)$ の形になる。

手順 2：面積要素
$$|{\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y|=\sqrt{4x+0+1}=\sqrt{1+4x}$$
だから $dS=\sqrt{1+4x}dxdy$ である。これは公式 $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+4x+0}$ と一致する。

手順 3：積分
$$\text{面積}={\iint }_D\sqrt{1+4x}dxdy={\int }_0^{3}dy{\int }_0^2\sqrt{1+4x}dx=3{\int }_0^2(1+4x{)}^{1/2}dx.$$
$\frac{d}{dx}(1+4x{)}^{3/2}=\frac{3}{2}\cdot 4(1+4x{)}^{1/2}=6(1+4x{)}^{1/2}$ より、原始関数は $\frac{1}{6}(1+4x{)}^{3/2}$ である。よって
$${\int }_0^2(1+4x{)}^{1/2}dx=\frac{1}{6}{\left[(1+4x{)}^{3/2}\right]}_0^2=\frac{1}{6}\left(9^{3/2}-1\right)=\frac{27-1}{6}=\frac{13}{3}.$$
したがって面積は $3\cdot \frac{13}{3}=13$ である。

曲面は $z=f(x,y)=\frac{4}{3}{x}^{3/2}$ で表され、領域は $D=[0,2]\times [0,3]$ である。

偏微分は $f_x=2x^{1/2}$, $f_y=0$ なので、面積要素は $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+4x}$ となる。

面積は
$$A={\int }_0^3{\int }_0^2\sqrt{1+4x}dxdy=3{\int }_0^2(1+4x{)}^{1/2}dx.$$

不定積分は $\int (1+4x{)}^{1/2}dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}(1+4x{)}^{3/2}=\frac{1}{6}(1+4x{)}^{3/2}$。

$x=0$ から $2$ までの定積分は $\frac{1}{6}(9^{3/2}-1)=\frac{1}{6}(27-1)=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}$。

よって $A=3\cdot \frac{13}{3}=13$。

検算：$x$ 方向の曲線 $z=\frac{4}{3}{x}^{3/2}$ の弧長は ${\int }_0^2\sqrt{1+4x}dx=13/3$ で、これに $y$ 方向の長さ 3 を掛けると 13（柱面なので面積は弧長×幅）。一致する。