ベクトル解析の問題

$\mathbf{v}=\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ とおくと $\mathbf{A}=\mathbf{a}\times \mathbf{v}$ である。ベクトル恒等式
$$\mathrm{rot}(\mathbf{u}\times \mathbf{v})=\mathbf{u}(\mathrm{div}\mathbf{v})-\mathbf{v}(\mathrm{div}\mathbf{u})+(\mathbf{v}\cdot \nabla )\mathbf{u}-(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{v}$$
を $\mathbf{u}=\mathbf{a}$（定ベクトル）に用いると、$\mathrm{div}\mathbf{a}=0$、$(\mathbf{v}\cdot \nabla )\mathbf{a}=0$ なので
$$\mathrm{rot}\mathbf{A}=\mathbf{a}\mathrm{div}\mathbf{v}-(\mathbf{a}\cdot \nabla )\mathbf{v}.$$

$\mathrm{div}\mathbf{v}$ の計算. $\nabla (r^{-3})=-3r^{-5}\mathbf{r}$、$\mathrm{div}\mathbf{r}=3$ より、$\mathbf{r}\ne 0$ で
$$\mathrm{div}\frac{\mathbf{r}}{r^3}=\nabla (r^{-3})\cdot \mathbf{r}+r^{-3}\mathrm{div}\mathbf{r}=-\frac{3r^2}{r^5}+\frac{3}{r^3}=0.$$

$(\mathbf{a}\cdot \nabla )\mathbf{v}$ の計算. $(\mathbf{a}\cdot \nabla )\mathbf{r}=\mathbf{a}$、$(\mathbf{a}\cdot \nabla )r^{-3}=\mathbf{a}\cdot \nabla (r^{-3})=-\frac{3(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})}{r^5}$ より
$$(\mathbf{a}\cdot \nabla )\frac{\mathbf{r}}{r^3}=\frac{\mathbf{a}}{r^3}-\frac{3(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})}{r^5}\mathbf{r}.$$

よって
$$\mathrm{rot}\mathbf{A}=-\frac{\mathbf{a}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})}{r^5}\mathbf{r}.$$

点 $\mathrm{P}$ での値. $\mathbf{r}=(1,2,2)$ で $r=\sqrt{1+4+4}=3$、$\mathbf{a}\cdot \mathbf{r}=1-2+4=3$。したがって
$$\mathrm{rot}\mathbf{A}(\mathrm{P})=-\frac{(1,-1,2)}{27}+\frac{3\cdot 3}{243}(1,2,2)=-\frac{(1,-1,2)}{27}+\frac{(1,2,2)}{27}=\frac{(0,3,0)}{27}=\left(0,\frac{1}{9},0\right).$$

（検算）成分で直接計算してもよい。$\mathbf{a}\times \mathbf{r}=(-2y-z,2x-z,y+x)$ なので、例えば $y$ 成分は
$$\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}=\frac{-1}{r^3}+\frac{3z(2y+z)}{r^5}-\frac{1}{r^3}+\frac{3x(x+y)}{r^5}$$
で、$\mathrm{P}$ では $-\frac{2}{27}+\frac{3\cdot 2\cdot 6+3\cdot 1\cdot 3}{243}=-\frac{18}{243}+\frac{45}{243}=\frac{27}{243}=\frac{1}{9}$ となり一致する。

$f=r^{-3}$ とおくと $\mathbf{A}=f(\mathbf{a}\times \mathbf{r})$. 公式 $\mathrm{rot}(f\mathbf{B})=f\mathrm{rot}\mathbf{B}+\nabla f\times \mathbf{B}$ を使う。

$\mathrm{rot}(\mathbf{a}\times \mathbf{r})=2\mathbf{a}$（$\mathbf{a}\times \mathbf{r}=(a_{2}z-a_{3}y,a_{3}x-a_{1}z,a_{1}y-a_{2}x)$ の回転を直接計算すると $(2a_1,2a_2,2a_3)$）.
$\nabla f=-3r^{-5}\mathbf{r}$.
$\mathbf{r}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{r})=\mathbf{a}{r}^2-\mathbf{r}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})$.

よって
$\mathrm{rot}\mathbf{A}=\frac{2\mathbf{a}}{r^3}-\frac{3}{r^5}\left(r^2\mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})\mathbf{r}\right)=-\frac{\mathbf{a}}{r^3}+\frac{3(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r})\mathbf{r}}{r^5}$.

$\mathrm{P}(1,2,2)$ では $r=3$, $r^3=27$, $r^5=243$, $\mathbf{a}\cdot \mathbf{r}=1-2+4=3$.
$\frac{3\cdot 3(1,2,2)}{243}=\frac{(1,2,2)}{27}$, $\frac{\mathbf{a}}{27}=\frac{(1,-1,2)}{27}$ なので
$\mathrm{rot}\mathbf{A}=\frac{(1,2,2)-(1,-1,2)}{27}=\frac{(0,3,0)}{27}=\left(0,\frac{1}{9},0\right)$.

検算: $x$ 成分を直接計算する。$\mathbf{A}=\frac{1}{r^3}(2z+y,-x\cdot ...)$ ではなく、$\mathbf{a}\times \mathbf{r}=(-z-2y,2x-z,y+x)$. $(\mathrm{rot}\mathbf{A}{)}_x={\partial }_y{A}_z-{\partial }_z{A}_y$ $=\frac{1}{r^3}(1-(-1))-3r^{-5}\left(y(x+y)-z(2x-z)\right)$ $=\frac{2}{27}-\frac{3}{243}\left(2\cdot 3-2\cdot 0\right)=\frac{2}{27}-\frac{6}{81}\cdot \frac{...}{}$. ここで $3/243=1/81$, よって $\frac{2}{27}-\frac{6}{81}=\frac{2}{27}-\frac{2}{27}=0$. 公式の結果の $x$ 成分 $0$ と一致する。