ベクトル解析の問題

方針 曲線を媒介変数で表し、公式 ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt$ を使う。$\mathrm{O}$ から $\mathrm{A}$ へ向かう向きの方が媒介変数表示が自然なので、まずその向きで計算し、最後に向きを逆にして符号を変える。

手順 1：逆向きの曲線を媒介変数表示する
$C$ と同じ点の集まりで、$\mathrm{O}$ から $\mathrm{A}$ へ向かう向きをつけた曲線を $-C$ と書く。$-C$ は
$$\mathbf{r}(t)=(t,t^2)(0\le t\le 1)$$
と表せる（$t=0$ で $\mathrm{O}$、$t=1$ で $\mathrm{A}$）。このとき ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(1,2t)$ である。

手順 2：$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ を求める
$x=t,y=t^2$ を代入して
$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(t\cdot t^2,t+t^2)=(t^3,t+t^2).$$

手順 3：内積を計算する
$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)=t^3\cdot 1+(t+t^2)\cdot 2t=t^3+2t^2+2t^3=3t^3+2t^2.$$

手順 4：定積分する
$${\int }_{-C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_0^1(3t^3+2t^2)dt={\left[\frac{3}{4}{t}^4+\frac{2}{3}{t}^3\right]}_0^1=\frac{3}{4}+\frac{2}{3}=\frac{17}{12}.$$

手順 5：向きを逆にする
線積分は曲線の向きを逆にすると符号が変わるので
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-{\int }_{-C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\frac{17}{12}.$$

（参考：$C$ を直接 $\mathbf{r}(t)=(1-t,(1-t{)}^2)(0\le t\le 1)$ と表して計算しても同じ値 $-\frac{17}{12}$ になる。）

$C$ を $x=t,y=t^2$ とパラメータ表示する。A から O へ向かうので $t$ は 1 から 0 まで動く。$d\mathbf{r}=(1,2t)dt$、$\mathbf{F}=(t^3,t+t^2)$ なので、$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(t^3+2t(t+t^2))dt=(t^3+2t^2+2t^3)dt=(3t^3+2t^2)dt$。

したがって
$${\int }_1^0(3t^3+2t^2)dt=-{\left[\frac{3t^4}{4}+\frac{2t^3}{3}\right]}_0^1=-\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}\right)=-\frac{17}{12}.$$

検算：O から A へ向かう向きの積分は $\frac{17}{12}$ である。逆向きにすると符号が変わるので $-\frac{17}{12}$ となり、一致する。また別の確認として、$\int xydx={\int }_1^0{x}^{3}dx=-\frac{1}{4}$、$\int (x+y)dy={\int }_1^0(\sqrt{y}+y)dy=-(\frac{2}{3}+\frac{1}{2})=-\frac{7}{6}$ で、和は $-\frac{1}{4}-\frac{7}{6}=-\frac{3}{12}-\frac{14}{12}=-\frac{17}{12}$ となり、一致する。