ベクトルの問題

手順 1: 向かい合う辺の長さが等しいこと

四面体の辺は 6 本あり、各辺はちょうど 2 つの面に含まれる。4 つの面のそれぞれに長さ $5$, $6$, $7$ の辺が 1 本ずつあるので、長さ $5$ の辺を面ごとに数えると $4$ 回、1 本の辺は 2 回ずつ数えられるから、長さ $5$ の辺はちょうど $2$ 本ある。長さ $6$, $7$ の辺も同様に $2$ 本ずつである。

また、頂点を共有する 2 辺（たとえば $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$）は必ず 1 つの面（$△\mathrm{ABC}$）に含まれ、1 つの面の 3 辺の長さはすべて異なる。よって長さの等しい 2 辺は頂点を共有しない、すなわち向かい合う辺（$\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$ など）である。頂点の名前を付けかえて
$$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=5,\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=6,\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=7$$
としてよい（逆にこのとき、4 つの面はどれも 3 辺が $5,6,7$ になる）。

手順 2: 直方体の中に置く（鍵）

正の数 $p$, $q$, $r$ に対して、座標空間に
$$\mathrm{A}(0,0,0),\mathrm{B}(p,q,0),\mathrm{C}(p,0,r),\mathrm{D}(0,q,r)$$
をとる。これらは 3 辺が $p,q,r$ の直方体の頂点のうち、互いに隣り合わない 4 つであり、6 本の辺は直方体の面の対角線になる。成分で計算すると
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(p,q,0),\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(-p,q,0)\text{より}{\mathrm{AB}}^2={\mathrm{CD}}^2=p^2+q^2$$
$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(p,0,r),\overrightarrow{\mathrm{BD}}=(-p,0,r)\text{より}{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BD}}^2=p^2+r^2$$
$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=(0,q,r),\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(0,-q,r)\text{より}{\mathrm{AD}}^2={\mathrm{BC}}^2=q^2+r^2$$
そこで
$$p^2+q^2=25,p^2+r^2=36,q^2+r^2=49$$
となる $p,q,r$ を探す。3 式を足すと $2(p^2+q^2+r^2)=110$、$p^2+q^2+r^2=55$。よって
$$p^2=55-49=6,q^2=55-36=19,r^2=55-25=30$$
で、どれも正なので $p=\sqrt{6}$, $q=\sqrt{19}$, $r=\sqrt{30}$ ととれる。こうして、6 本の辺の長さが手順 1 のとおりの四面体が得られた。6 本の辺の長さが等しい四面体は合同なので、この四面体の体積を求めればよい。

手順 3: 体積

直方体（体積 $pqr$）から、四面体 $\mathrm{ABCD}$ の外側にある 4 つの三角錐を取り除く。たとえば頂点 $(p,0,0)$ のまわりの三角錐は、直角をはさむ 3 辺が $p,q,r$ なので体積は $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}pq\cdot r=\frac{pqr}{6}$ であり、4 つとも同じである。よって
$$V=pqr-4\cdot \frac{pqr}{6}=\frac{pqr}{3}=\frac{\sqrt{6\cdot 19\cdot 30}}{3}=\frac{\sqrt{3420}}{3}=\frac{6\sqrt{95}}{3}=2\sqrt{95}$$

（確認: 1 つの面の面積はヘロンの公式で $s=9$, $\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}$。$V=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{6}\cdot h$ から高さ $h=\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{6}}\approx 3.98$ で、辺の長さ $5\sim 7$ と比べて妥当である。）

答え: $2\sqrt{95}$

4 つの面がすべて合同な三角形（3 辺 $5,6,7$）なので、向かい合う辺の長さが等しい。すなわち、$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=5$, $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=6$, $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=7$ としてよい（面 ABC の 3 辺は $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ で $5,7,6$ となり、他の面も同様）。このような四面体は、直方体の各面の対角線を結んでできる。直方体の辺の長さを $x,y,z$ とすると
$x^2+y^2=25,y^2+z^2=36,z^2+x^2=49$。
3 式を足して $2(x^2+y^2+z^2)=110$ より $x^2+y^2+z^2=55$。
よって $z^2=55-25=30$, $x^2=55-36=19$, $y^2=55-49=6$。
四面体の体積は、直方体の体積から、4 隅の三角錐（各体積 $\frac{1}{6}xyz$）4 個を除いたものなので
$V=xyz-4\cdot \frac{1}{6}xyz=\frac{1}{3}xyz$。
$xyz=\sqrt{19\cdot 6\cdot 30}=\sqrt{3420}=6\sqrt{95}$。
ゆえに $V=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{95}=2\sqrt{95}$。
検算: $19+6=25$, $6+30=36$, $30+19=49$ で条件を満たす。また、辺 $5,6,7$ の三角形の面積はヘロンの公式で $s=9$, $\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}$。直方体の対角面を使った別の確認でも体積 $\frac{1}{3}xyz$ は整合する。