ベクトルの問題

各点の位置ベクトルを $\vec{a},\vec{b}$ で表す。

点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2}{3}\vec{a}$$
点 $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{AB}$ を $3:1$ に外分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{-1\cdot \vec{a}+3\vec{b}}{3-1}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}$$
点 $\mathrm{N}$ は辺 $\mathrm{OB}$ の中点なので $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{1}{2}\vec{b}$ である。

直線 $\mathrm{PQ}$ 上の点として表す。 $\mathrm{X}$ は直線 $\mathrm{PQ}$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+u\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$$
と書ける。ここで
$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\left(-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}=-\frac{7}{6}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}$$
より
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\left(\frac{2}{3}-\frac{7}{6}u\right)\vec{a}+\frac{3}{2}u\vec{b}(1)$$

直線 $\mathrm{AN}$ 上の点として表す。 実数 $v$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=(1-v)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{ON}}=(1-v)\vec{a}+\frac{v}{2}\vec{b}(2)$$

係数を比較する。 $\vec{a}\ne \vec{0}$、$\vec{b}\ne \vec{0}$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でないから、$(1)$ と $(2)$ の係数は一致する。
$$\frac{2}{3}-\frac{7}{6}u=1-v,\frac{3}{2}u=\frac{v}{2}$$
第2式より $v=3u$。これを第1式に代入すると
$$\frac{2}{3}-\frac{7}{6}u=1-3u$$
$$3u-\frac{7}{6}u=1-\frac{2}{3}$$
$$\frac{11}{6}u=\frac{1}{3}$$
よって $u=\frac{2}{11}$、$v=\frac{6}{11}$。

$(2)$ に代入すると
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\left(1-\frac{6}{11}\right)\vec{a}+\frac{3}{11}\vec{b}=\frac{5}{11}\vec{a}+\frac{3}{11}\vec{b}$$
(確認として $(1)$ に代入すると、$\vec{a}$ の係数は $\frac{2}{3}-\frac{7}{6}\cdot \frac{2}{11}=\frac{22}{33}-\frac{7}{33}=\frac{5}{11}$、$\vec{b}$ の係数は $\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{11}=\frac{3}{11}$ となり一致する。)

したがって $(s,t)=\left(\frac{5}{11},\frac{3}{11}\right)$ である。

$P=\frac{2}{3}\vec{a}$。Q は AB を $3:1$ に外分する点なので $\overrightarrow{OQ}=\frac{-1\cdot \vec{a}+3\vec{b}}{3-1}=\frac{-\vec{a}+3\vec{b}}{2}$。N は $\frac{1}{2}\vec{b}$。

直線 PQ 上: $\overrightarrow{OX}=(1-k)\overrightarrow{OP}+k\overrightarrow{OQ}=\left(\frac{2}{3}(1-k)-\frac{k}{2}\right)\vec{a}+\frac{3k}{2}\vec{b}$。

直線 AN 上: $\overrightarrow{OX}=(1-m)\vec{a}+\frac{m}{2}\vec{b}$。

係数比較より
$\frac{3k}{2}=\frac{m}{2}$ すなわち $m=3k$。
$\frac{2}{3}-\frac{2k}{3}-\frac{k}{2}=1-3k$。
両辺に 6 を掛けて $4-4k-3k=6-18k$、よって $11k=2$、$k=\frac{2}{11}$。

このとき $m=\frac{6}{11}$、$s=1-m=\frac{5}{11}$、$t=\frac{m}{2}=\frac{3}{11}$。

検算: PQ 側の $s=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{11}-\frac{1}{11}=\frac{6}{11}-\frac{1}{11}=\frac{5}{11}$、$t=\frac{3}{11}$。一致する。