ベクトルの問題

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=2$ であり、
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 2\cdot \cos \frac{\pi }{3}=3$$
である。

点 H の位置ベクトル
$\mathrm{H}$ は直線 $\mathrm{OB}$ 上にあるので $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{b}$（$k$ は実数）とおける。$\mathrm{AH}\perp \mathrm{OB}$ より $(k\vec{b}-\vec{a})\cdot \vec{b}=0$、すなわち $4k-3=0$ なので $k=\frac{3}{4}$。よって $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{3}{4}\vec{b}$。

また $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2}{3}\vec{a}$ である。

交点 R の位置ベクトル
$\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{AH}$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-u)\vec{a}+u\cdot \frac{3}{4}\vec{b}=(1-u)\vec{a}+\frac{3u}{4}\vec{b}$$
と表せる。また線分 $\mathrm{BP}$ 上にあるので、実数 $v$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=v\cdot \frac{2}{3}\vec{a}+(1-v)\vec{b}=\frac{2v}{3}\vec{a}+(1-v)\vec{b}$$
と表せる。$\vec{a}$、$\vec{b}$ は $\vec{0}$ でなく平行でもないので、係数を比較して
$$1-u=\frac{2v}{3},\frac{3u}{4}=1-v.$$
第 2 式より $v=1-\frac{3u}{4}$。これを第 1 式に代入すると
$$1-u=\frac{2}{3}-\frac{u}{2}⟹\frac{1}{3}=\frac{u}{2}⟹u=\frac{2}{3}.$$
このとき $v=\frac{1}{2}$ で、$0\leqq u\leqq 1$、$0\leqq v\leqq 1$ を満たす。したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}.$$

OR の長さ
$$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}{|}^2=\frac{1}{9}|\vec{a}{|}^2+2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{1}{4}|\vec{b}{|}^2=\frac{1}{9}\cdot 9+\frac{1}{3}\cdot 3+\frac{1}{4}\cdot 4=3.$$
よって $\mathrm{OR}=\sqrt{3}$。

（確認：$\mathrm{O}(0,0)$、$\mathrm{B}(2,0)$、$\mathrm{A}\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ と座標を置くと、$\mathrm{H}\left(\frac{3}{2},0\right)$、$\mathrm{P}(1,\sqrt{3})$。直線 $\mathrm{BP}$ 上で $x=\frac{3}{2}$ となる点は $\mathrm{R}\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ で、${\mathrm{OR}}^2=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=3$ となり一致する。）

O を原点、OB を x 軸上に置くと、$\mathrm{B}=(2,0)$、$\mathrm{A}=\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ となる。

点 H は A から x 軸に下ろした垂線の足なので $\mathrm{H}=\left(\frac{3}{2},0\right)$。

点 P は OA を $2:1$ に内分するので $\mathrm{P}=\frac{2}{3}\mathrm{A}=(1,\sqrt{3})$。

直線 AH は $x=\frac{3}{2}$。

直線 BP 上の点は $(2-t,\sqrt{3}t)$ と表せる。$x=\frac{3}{2}$ とすると $t=\frac{1}{2}$ となり、$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

よって $\mathrm{R}=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

確認：$0\le t\le 1$ なので R は線分 BP 上にある。また $0\le \frac{\sqrt{3}}{2}\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$ なので R は線分 AH 上にある。

$\mathrm{OR}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$。