ベクトルの問題

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は $\vec{0}$ でなく、平行でもない。

内積 $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$ より
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 2\cdot \cos \frac{\pi }{3}=3$$

点 C, D の位置ベクトル C は OA を $2:1$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3}\vec{a}$$
D は AB を $3:1$ に外分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{-1\cdot \vec{a}+3\vec{b}}{3-1}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}$$

P を 2 通りに表す P は直線 OD 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OD}}=-\frac{k}{2}\vec{a}+\frac{3k}{2}\vec{b}(1)$$
と書ける。P は直線 BC 上にもあるので、実数 $u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\left(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)=\frac{2u}{3}\vec{a}+(1-u)\vec{b}(2)$$
と書ける。

係数を比較する $\vec{a}$, $\vec{b}$ は 1 次独立なので、$(1)$ と $(2)$ の係数を比べて
$$-\frac{k}{2}=\frac{2u}{3},\frac{3k}{2}=1-u$$
1 つ目の式から $u=-\frac{3k}{4}$ である。これを 2 つ目に代入すると $\frac{3k}{2}=1+\frac{3k}{4}$ より $\frac{3k}{4}=1$ となり、
$$k=\frac{4}{3},u=-1$$
よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\frac{2}{3}\vec{a}+2\vec{b}$$
($u=-1$ なので、P は直線 BC 上で B に関して C と反対側にあり、B は線分 CP の中点である。)

長さを求める
$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2=\frac{4}{9}|\vec{a}{|}^2-2\cdot \frac{2}{3}\cdot 2\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=\frac{4}{9}\cdot 9-\frac{8}{3}\cdot 3+4\cdot 4=4-8+16=12$$
したがって $\mathrm{OP}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ である。

(検算) 座標を $\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{A}(3,0)$, $\mathrm{B}(1,\sqrt{3})$ とおくと、$\mathrm{C}(2,0)$, $\mathrm{D}\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ となる。直線 OD は $y$ 軸であり、直線 BC は $y=-\sqrt{3}(x-2)$ である。よって交点は $\mathrm{P}(0,2\sqrt{3})$ となり、$\mathrm{OP}=2\sqrt{3}$ で一致する。

O を原点とし、$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$, $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$ とおく。$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 2\cos \frac{\pi }{3}=3$。

点 C は OA を $2:1$ に内分するので $\overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\vec{a}$。
点 D は AB を $3:1$ に外分するので $\overrightarrow{OD}=\frac{-\vec{a}+3\vec{b}}{2}$。

点 P は直線 OD 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OD}=-\frac{t}{2}\vec{a}+\frac{3t}{2}\vec{b}$ と表せる。
また P は直線 BC 上にあるので、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{b}+s\cdot \frac{2}{3}\vec{a}$ と表せる。

$\vec{a},\vec{b}$ は一次独立なので係数を比較して
$\frac{2s}{3}=-\frac{t}{2}$, $1-s=\frac{3t}{2}$。
第1式より $s=-\frac{3t}{4}$。これを第2式に代入して $1+\frac{3t}{4}=\frac{3t}{2}$ より $t=\frac{4}{3}$、$s=-1$。

よって $\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}(3\vec{b}-\vec{a})=2\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{a}$。

$|\overrightarrow{OP}{|}^2=4|\vec{b}{|}^2-2\cdot 2\cdot \frac{2}{3}\vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{4}{9}|\vec{a}{|}^2=16-8+4=12$。

したがって $OP=2\sqrt{3}$。

検算：$s=-1$ を BC 側の式に代入すると $\overrightarrow{OP}=2\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{a}$ となり、OD 側の式（$t=\frac{4}{3}$）と一致する。