ベクトルの問題

まず $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ の位置ベクトルを求める。

$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OA}$ を $3:2$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{3}{5}\vec{a}$$
$\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{OB}$ を $3:1$ に外分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{-1\cdot \vec{0}+3\vec{b}}{3-1}=\frac{3}{2}\vec{b}$$

$\mathrm{R}$ は直線 $\mathrm{AB}$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-u)\vec{a}+u\vec{b}(1)$$
と表せる。

また、$\mathrm{R}$ は直線 $\mathrm{PQ}$ 上にあるので、実数 $v$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-v)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+v\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{5}(1-v)\vec{a}+\frac{3}{2}v\vec{b}(2)$$
と表せる。

$\vec{a},\vec{b}$ は $\vec{0}$ でなく平行でもない（1次独立）ので、$(1)$, $(2)$ の係数を比較して
$$1-u=\frac{3}{5}(1-v),u=\frac{3}{2}v$$
第2式を第1式に代入すると
$$1-\frac{3}{2}v=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}v$$
$$\frac{2}{5}=\frac{3}{2}v-\frac{3}{5}v=\frac{9}{10}v$$
よって $v=\frac{4}{9}$、$u=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{9}=\frac{2}{3}$。

したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$$
となり、$(s,t)=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ である。

（確認：$\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点であり、メネラウスの定理 $\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}\cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QO}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{1}{3}=1$ も成り立つ。）

$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{5}\vec{a}$。Q は OB を $3:1$ に外分するので $\overrightarrow{OQ}=\frac{-1\cdot \vec{0}+3\vec{b}}{3-1}=\frac{3}{2}\vec{b}$。

R は直線 PQ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OR}=(1-k)\overrightarrow{OP}+k\overrightarrow{OQ}=\frac{3(1-k)}{5}\vec{a}+\frac{3k}{2}\vec{b}$ と表せる。

R は直線 AB 上にあるので係数の和が 1 となる。
$\frac{3(1-k)}{5}+\frac{3k}{2}=1$。両辺に 10 をかけて $6(1-k)+15k=10$、$9k=4$、$k=\frac{4}{9}$。

よって $s=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{9}=\frac{1}{3}$、$t=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{9}=\frac{2}{3}$。

検算: $s+t=1$ で、直線 AB 上にある。また $\overrightarrow{OR}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$ は $\frac{5}{9}\overrightarrow{OP}+\frac{4}{9}\overrightarrow{OQ}=\frac{5}{9}\cdot \frac{3}{5}\vec{a}+\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{2}\vec{b}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$ で一致する。