ベクトルの問題

点 C, D の位置ベクトル

$\mathrm{C}$ は辺 $\mathrm{OA}$ を $3:2$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{3}{5}\vec{a}$$
$\mathrm{D}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $3:1$ に外分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{-1\cdot \vec{a}+3\vec{b}}{3-1}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}$$

点 E を求める

$\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{CD}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+k\overrightarrow{\mathrm{CD}}$$
と表せる。ここで
$$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}-\frac{3}{5}\vec{a}=-\frac{11}{10}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}$$
であるから
$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\left(\frac{3}{5}-\frac{11}{10}k\right)\vec{a}+\frac{3}{2}k\vec{b}$$
$\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{OB}$ 上にあり、$\vec{a},\vec{b}$ は一次独立なので、$\vec{a}$ の係数は $0$ である。
$$\frac{3}{5}-\frac{11}{10}k=0\text{より}k=\frac{6}{11}$$
よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{6}{11}\vec{b}=\frac{9}{11}\vec{b}$$
（$0<\frac{9}{11}<1$ なので $\mathrm{E}$ は確かに辺 $\mathrm{OB}$ 上にある。）

点 Q を求める

$\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{AE}$ 上にあるので、実数 $p$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-p)\vec{a}+p\cdot \frac{9}{11}\vec{b}\cdots (1)$$
また、$\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{BC}$ 上にあるので、実数 $q$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=q\cdot \frac{3}{5}\vec{a}+(1-q)\vec{b}\cdots (2)$$
$\vec{a},\vec{b}$ は一次独立なので、$(1)$, $(2)$ の係数を比較して
$$1-p=\frac{3}{5}q,\frac{9}{11}p=1-q$$
第2式より $q=1-\frac{9}{11}p$。これを第1式に代入すると
$$1-p=\frac{3}{5}-\frac{27}{55}p$$
$$\frac{2}{5}=p-\frac{27}{55}p=\frac{28}{55}p$$
$$p=\frac{2}{5}\cdot \frac{55}{28}=\frac{11}{14}$$
このとき $q=1-\frac{9}{11}\cdot \frac{11}{14}=\frac{5}{14}$ であり、$0<p<1$, $0<q<1$ を満たす。

したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(1-\frac{11}{14}\right)\vec{a}+\frac{9}{11}\cdot \frac{11}{14}\vec{b}=\frac{3}{14}\vec{a}+\frac{9}{14}\vec{b}$$
（確認: $(2)$ からも $\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{14}=\frac{3}{14}$, $1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$ で一致する。）

よって $(s,t)=\left(\frac{3}{14},\frac{9}{14}\right)$ である。

$\overrightarrow{OC}=\frac{3}{5}\vec{a}$、$\overrightarrow{OD}=\frac{-\vec{a}+3\vec{b}}{2}$ である。

直線 CD 上の点は $\overrightarrow{OC}+k(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC})$ と表せる。$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=-\frac{11}{10}\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}$ だから、この点は $\left(\frac{3}{5}-\frac{11}{10}k\right)\vec{a}+\frac{3}{2}k\vec{b}$ となる。

点 E は直線 OB 上にあるので $\vec{a}$ の係数が 0 となり、$k=\frac{6}{11}$。よって $\overrightarrow{OE}=\frac{9}{11}\vec{b}$ である。

次に、AE 上の点は $\overrightarrow{OA}+u(\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OA})=(1-u)\vec{a}+\frac{9u}{11}\vec{b}$、BC 上の点は $\overrightarrow{OB}+v(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\frac{3v}{5}\vec{a}+(1-v)\vec{b}$ と表せる。

$\vec{a},\vec{b}$ は一次独立なので係数を比べる。
$1-u=\frac{3v}{5}$、$\frac{9u}{11}=1-v$。

第2式から $v=1-\frac{9u}{11}$。これを第1式に代入して
$1-u=\frac{3}{5}-\frac{27u}{55}$、すなわち $\frac{2}{5}=\frac{28u}{55}$ より $u=\frac{11}{14}$。

このとき $s=1-u=\frac{3}{14}$、$t=\frac{9u}{11}=\frac{9}{14}$。

検算：$v=1-\frac{9}{14}=\frac{5}{14}$ で、$\frac{3v}{5}=\frac{3}{14}$ となり $s$ と一致する。

よって $(s,t)=\left(\frac{3}{14},\frac{9}{14}\right)$。