垂線の足の位置ベクトル

点 A から直線 OB に下ろした垂線の足 H を $OH = k b$ とおき、 $AH \cdot b = 0$ から $k = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}$ を求めて、H の位置ベクトルを表せる

前提

内積の計算法則と大きさの展開（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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内積の計算法則と大きさの展開（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）

説明

点 A から直線 OB に垂線を下ろしたとき、その垂線の足 H の位置を、ベクトル $a = OA$ 、 $b = OB$ を使って $OH = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}} b$ と表せるようになります。座標を使わずに、 $∣ a ∣$ 、 $∣ b ∣$ 、 $a \cdot b$ の値だけで H の位置が決まります。三角形の高さや垂線の長さを求める問題、点から直線までの距離を求める問題などの出発点として使います。

なぜそうしてよいのか

H は直線 OB 上の点なので、 $OH$ は $b$ と平行か零ベクトルです。そこで実数 $k$ を使って $OH = k b$ とおけます（ここで $b \neq = 0$ 、つまり O と B は異なる点とします）。すると $AH = OH - OA = k b - a$ です。

AH が直線 OB に垂直であることは、内積で $AH \cdot b = 0$ と書けます（A が直線 OB 上にあって $AH = 0$ のときも内積は 0 なので、この式は成り立ちます）。内積の計算法則で展開すると $(k b - a) \cdot b = k ∣ b ∣^{2} - a \cdot b = 0$ となり、 $∣ b ∣^{2} \neq = 0$ なので両辺を割って $k = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}$ が得られます。

直観的には、 $a$ と $b$ のなす角を $θ$ とすると $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ なので $k ∣ b ∣ = ∣ a ∣ cos θ$ です。これは直角三角形 OAH で「斜辺 OA に $cos θ$ を掛けると OH の長さになる」ことを表しています（ $θ$ が鈍角なら $k < 0$ となり、H は O をはさんで B と反対側にきます）。

手順

$a = OA$ 、 $b = OB$ とし、H が直線 OB 上にあることから $OH = k b$ （ $k$ は実数）とおく
$AH = OH - OA = k b - a$ と表す
垂直の条件 $AH \cdot b = 0$ を展開して $k ∣ b ∣^{2} - a \cdot b = 0$ を作る
$∣ b ∣^{2} \neq = 0$ で割って $k = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}$ を求め、与えられた値を代入する
$OH = k b$ と書き、必要なら $k$ の値から H の位置（ $0 \leq k \leq 1$ なら線分 OB 上、 $k < 0$ や $k > 1$ なら延長上）を確かめる

例題

$△ OAB$ において、 $a = OA$ 、 $b = OB$ とし、 $∣ a ∣ = 3$ 、 $∣ b ∣ = 4$ 、 $a \cdot b = 6$ とする。点 A から直線 OB に下ろした垂線の足を H とし、 $OH = k b$ と表すとき、実数 $k$ の値を求めよ。

例題の解答

手順1：H は直線 OB 上にあるので $OH = k b$ とおく。
手順2： $AH = k b - a$ 。
手順3： $AH ⊥ OB$ より $AH \cdot b = 0$ 。展開すると $k ∣ b ∣^{2} - a \cdot b = 0$ 、すなわち $16 k - 6 = 0$ 。
手順4： $∣ b ∣^{2} = 16 \neq = 0$ なので $k = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ 。
手順5： $OH = \frac{3}{8} b$ 。 $0 \leq \frac{3}{8} \leq 1$ なので H は線分 OB 上にあり、 $OH : HB = 3 : 5$ 。
（確認： $cos ∠ AOB = \frac{6}{3 \cdot 4} = \frac{1}{2}$ より $OH = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 、一方 $\frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{3}{2}$ で一致する。）

答え: $\frac{3}{8}$

よくある誤り

分母を $∣ b ∣^{2}$ ではなく $∣ b ∣$ にしてしまう誤り。例題なら $k = \frac{6}{4}$ としてしまう。正しくは $k ∣ b ∣^{2} = a \cdot b$ から $k = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}} = \frac{6}{16}$ （ $\frac{a \cdot b}{∣ b ∣}$ は OH の符号付きの長さであって、係数 $k$ ではない）。
分母に下ろす先と違うベクトルの大きさを使い、 $k = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは、垂線を下ろす先の直線 OB の方向ベクトル $b$ について $OH = k b$ とおいたので、分母は $∣ b ∣^{2}$ 。
$AH$ を $a + k b$ のように向きを取り違えて立式してしまう誤り。正しくは $AH = OH - OA = k b - a$ で、これと $b$ の内積を 0 とおく。
H は必ず線分 OB 上にあると決めつけてしまう誤り。例えば $a \cdot b < 0$ （ $∠ AOB$ が鈍角）なら $k < 0$ となり、H は O をはさんで B と反対側の延長上にある。 $k$ の符号と大きさで位置を判断する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = 3$ 、 $OB = 2$ 、 $∠ AOB = \frac{π}{3}$ とする。辺 $OA$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、点 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線と直線 $OB$ との交点を $H$ とする。線分 $AH$ と線分 $BP$ の交点を $R$ とするとき、線分 $OR$ の長さを求めよ。
$O$ $A$ $B$ $P$ $H$ $R$ $3$ $2$ $\frac{π}{3}$