ベクトルの問題

三角形 $\mathrm{OAB}$ において、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とし、$|\vec{a}|=5$、$|\vec{b}|=4$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ とする。点 $\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{OB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{b}$ を満たす実数 $k$ の値を求めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とし、$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=4$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ とする。点 $\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{OB}$ に垂線を下ろし、その垂線と直線 $\mathrm{OB}$ の交点を $\mathrm{H}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{b}$ を満たす実数 $k$ の値を求めよ。

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とし、線分 $\mathrm{AE}$ と対角線 $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\vec{b}+t\vec{d}$ と表すとき、実数の組 $(s,t)$ を求めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において、$\mathrm{OA}=3$、$\mathrm{OB}=2$、$\angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi }{3}$ とする。辺 $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{P}$、点 $\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{OB}$ に下ろした垂線と直線 $\mathrm{OB}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。線分 $\mathrm{AH}$ と線分 $\mathrm{BP}$ の交点を $\mathrm{R}$ とするとき、線分 $\mathrm{OR}$ の長さを求めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とする。辺 $\mathrm{OA}$ を $3:1$ に内分する点を $\mathrm{C}$、辺 $\mathrm{AB}$ を $2:3$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とし、線分 $\mathrm{OD}$ と線分 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ を満たす実数 $s,t$ の組 $(s,t)$ を求めよ。