ベクトルの問題

方針：点 $\mathrm{P}$ の位置ベクトルを「直線 $\mathrm{OD}$ 上の点」と「平面 $\mathrm{ABC}$ 上の点」の 2 通りに成分で表し、成分を比べます。

(1) 直線 $\mathrm{OD}$ 上の点として表す

$\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{OD}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(k,2k,3k)$$
と表せます。

(2) 平面 $\mathrm{ABC}$ 上の点として表す

$\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるので、実数 $s,t$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$
と表せます。$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-4,2,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-4,0,4)$ なので
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(4-4s-4t,2s,4t)$$
です。

(3) 成分を比べる

2 つの表し方の成分が等しいので
$$k=4-4s-4t,2k=2s,3k=4t$$
2 つ目の式から $s=k$、3 つ目の式から $t=\frac{3}{4}k$ です。これらを 1 つ目の式に代入すると
$$k=4-4k-3k$$
$$8k=4\text{より}k=\frac{1}{2}$$

(4) 座標を求める

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}(1,2,3)=\left(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)$$

（確かめ：$s=\frac{1}{2}$, $t=\frac{3}{8}$ で $\left(4-2-\frac{3}{2},1,\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)$ となり一致します。）

よって $\mathrm{P}\left(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)$ です。

平面 ABC の方程式は $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1$、すなわち $x+2y+z=4$。
直線 OD 上の点は $t$ を実数として $(t,2t,3t)$ と表せる。
平面の方程式に代入して $t+4t+3t=8t=4$ より $t=\frac{1}{2}$。
よって $\mathrm{P}\left(\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)$。
検算: $\frac{1}{2}+2\cdot 1+\frac{3}{2}=4$ で平面上にあり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ より直線 OD 上にもある。