ベクトルの問題

点 $\mathrm{P}$ は「直線 $\mathrm{DE}$ 上」と「平面 $\mathrm{ABC}$ 上」の両方にあります。それぞれの条件を位置ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の式で表し、成分を比べます。

(1) 直線 $\mathrm{DE}$ 上にある条件

$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(5-(-1),3-0,3-0)=(6,3,3)$ です。$\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{DE}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+k\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(-1,0,0)+k(6,3,3)=(-1+6k,3k,3k)$$
と表せます。

(2) 平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある条件

$\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるので、実数 $s,t,u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}},s+t+u=1$$
と表せます。成分で書くと
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(4,0,0)+t(0,2,0)+u(0,0,4)=(4s,2t,4u)$$
です。

(3) 成分を比べる

(1), (2) の成分を比べると
$$4s=-1+6k,2t=3k,4u=3k$$
よって
$$s=\frac{-1+6k}{4},t=\frac{3k}{2}=\frac{6k}{4},u=\frac{3k}{4}$$
これらを $s+t+u=1$ に代入すると
$$\frac{-1+6k}{4}+\frac{6k}{4}+\frac{3k}{4}=1$$
$$-1+15k=4$$
$$k=\frac{1}{3}$$

(4) 交点の座標

$k=\frac{1}{3}$ を (1) の式に代入して
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(-1+6\cdot \frac{1}{3},3\cdot \frac{1}{3},3\cdot \frac{1}{3}\right)=(1,1,1)$$

（確認: このとき $s=\frac{1}{4}$, $t=\frac{1}{2}$, $u=\frac{1}{4}$ で、$s+t+u=1$ を満たします。）

したがって、$\mathrm{P}(1,1,1)$ です。

平面 ABC は切片形式より $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1$、すなわち $x+2y+z=4$。
直線 DE は D(-1,0,0) を通り方向ベクトル $\overrightarrow{DE}=(6,3,3)$ なので、$(x,y,z)=(-1+6t,3t,3t)$。
平面の式に代入すると $(-1+6t)+6t+3t=4$ より $15t=5$、$t=\frac{1}{3}$。
よって $P(-1+2,1,1)=(1,1,1)$。
検算：$1+2+1=4$ で平面上にあり、$(1,1,1)=D+\frac{1}{3}(6,3,3)$ より直線 DE 上にもある。