ベクトルの問題

点 $\mathrm{H}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるので、実数 $s,t,u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}},s+t+u=1$$
と表せる。成分で書くと
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(2s,4t,4u)$$
である。

また $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2,4,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,0,4)$ である。$\mathrm{OH}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直なので、平面上の 2 つのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の両方に垂直である。よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=2s\cdot (-2)+4t\cdot 4+4u\cdot 0=-4s+16t=0$$
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2s\cdot (-2)+4t\cdot 0+4u\cdot 4=-4s+16u=0$$
となる。これらから $s=4t$, $s=4u$ であり、$t=u=\frac{s}{4}$ を得る。

これを $s+t+u=1$ に代入すると
$$s+\frac{s}{4}+\frac{s}{4}=\frac{3}{2}s=1$$
より $s=\frac{2}{3}$ となる。したがって $t=u=\frac{1}{6}$ である。

よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\left(2\cdot \frac{2}{3},4\cdot \frac{1}{6},4\cdot \frac{1}{6}\right)=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$$
である。

（検算）平面 $\mathrm{ABC}$ の方程式は $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$ である。$\mathrm{H}$ を代入すると $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1$ となり、$\mathrm{H}$ は平面上にある。

答え：$\mathrm{H}\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$

平面ABCの方程式は $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$、すなわち $2x+y+z=4$。法線ベクトルは $(2,1,1)$。垂線の足 H は $t(2,1,1)$ と表せる。平面の式に代入して $2\cdot 2t+t+t=6t=4$ より $t=\frac{2}{3}$。よって $\mathrm{H}=\left(\frac{4}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$。検算：$2\cdot \frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{12}{3}=4$ で平面上にある。また $\overrightarrow{AB}=(-2,4,0)$ との内積は $-\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=0$、$\overrightarrow{AC}=(-2,0,4)$ との内積は $-\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=0$ で OH は平面に垂直。