ベクトルの問題

点 $\mathrm{P}$ が「直線 $\mathrm{DE}$ 上にある」ことと「平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある」ことを、それぞれベクトルで表します。

1. 直線 $\mathrm{DE}$ 上にある条件

$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(-1-1,0-2,1-3)=(-2,-2,-2)$ です。$\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{DE}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+k\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(1-2k,2-2k,3-2k)(1)$$
と表せます。

2. 平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある条件

$\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるので、実数 $s,t,u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}},s+t+u=1$$
と表せます。成分で書くと
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2s,3t,6u)(2)$$
です。

3. 成分を比べる

$(1)$, $(2)$ の成分を比べると
$$2s=1-2k,3t=2-2k,6u=3-2k$$
よって
$$s=\frac{1-2k}{2},t=\frac{2-2k}{3},u=\frac{3-2k}{6}$$
これを $s+t+u=1$ に代入し、両辺を $6$ 倍すると
$$3(1-2k)+2(2-2k)+(3-2k)=6$$
$$10-12k=6$$
$$k=\frac{1}{3}$$

4. 座標を求める

$(1)$ に $k=\frac{1}{3}$ を代入すると
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(1-\frac{2}{3},2-\frac{2}{3},3-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{3}\right)$$

(確認: このとき $s=\frac{1}{6}$, $t=\frac{4}{9}$, $u=\frac{7}{18}$ で、$s+t+u=\frac{3+8+7}{18}=1$ となっています。)

したがって、$\mathrm{P}\left(\frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{3}\right)$ です。

平面 ABC の方程式は切片形式より $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1$、すなわち $3x+2y+z=6$。
直線 DE 上の点は、方向ベクトル $\overrightarrow{DE}=(-2,-2,-2)$ を用いて、$(1,2,3)+t(1,1,1)=(1+t,2+t,3+t)$ と表せる。
これを平面の式に代入すると $3(1+t)+2(2+t)+(3+t)=6$ より $10+6t=6$、したがって $t=-\frac{2}{3}$。
よって $P=\left(\frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{3}\right)$。
検算：$3\cdot \frac{1}{3}+2\cdot \frac{4}{3}+\frac{7}{3}=1+\frac{8}{3}+\frac{7}{3}=1+5=6$ で平面上にある。また $P-E=\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$ は $(1,1,1)$ に平行なので直線 DE 上にある。