ベクトルの問題

ステップ 1：点 P が直線 DE 上にあることを式にする。

$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(-1-3,1-1,0-2)=(-4,0,-2)$ である。$\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{DE}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+k\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(3,1,2)+k(-4,0,-2)=(3-4k,1,2-2k)$$
と表せる。

ステップ 2：点 P が平面 ABC 上にあることを式にする。

$\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるので、実数 $s,t,u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}},s+t+u=1$$
と表せる。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(6,0,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(0,3,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(0,0,2)$ より
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(6s,3t,2u)$$
である。

ステップ 3：成分を比べる。

ステップ 1 と 2 の成分を比べると
$$6s=3-4k,3t=1,2u=2-2k$$
よって
$$s=\frac{3-4k}{6},t=\frac{1}{3},u=1-k$$
これを $s+t+u=1$ に代入すると
$$\frac{3-4k}{6}+\frac{1}{3}+1-k=1$$
両辺に $6$ を掛けて整理すると
$$3-4k+2+6-6k=6$$
$$-10k=-5$$
$$k=\frac{1}{2}$$

ステップ 4：座標を求める。

$k=\frac{1}{2}$ をステップ 1 の式に代入すると
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(3-2,1,2-1\right)=(1,1,1)$$

（確認：$s=\frac{1}{6}$, $t=\frac{1}{3}$, $u=\frac{1}{2}$ で、$s+t+u=1$ を満たしている。）

したがって、点 $\mathrm{P}$ の座標は $(1,1,1)$ である。

平面 ABC は切片形より $\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1$、すなわち $x+2y+3z=6$ である。
直線 DE 上の点は、$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(-4,0,-2)$ を用いて $(3-4t,1,2-2t)$ と表せる。
これを平面の式に代入すると $(3-4t)+2\cdot 1+3(2-2t)=6$ より $11-10t=6$、よって $t=\frac{1}{2}$。
このとき $\mathrm{P}=(3-2,1,2-1)=(1,1,1)$。
検算：$1+2\cdot 1+3\cdot 1=6$ となり平面上にある。また P は直線 DE 上の点である。