ベクトルの問題

平面 $\mathrm{ABC}$ を内積で表す。

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-4,4,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-4,0,2)$ である。

$\vec{n}=(a,b,c)$ が両方に垂直になる条件は $-4a+4b=0$, $-4a+2c=0$ である。よって $\vec{n}=(1,1,2)$ とできる。

点 $\mathrm{X}$ が平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある条件は $\overrightarrow{\mathrm{AX}}\cdot \vec{n}=0$ である。$\mathrm{X}(x,y,z)$ とすると $(x-4)+y+2z=0$、すなわち $x+y+2z=4$ となる。

$\mathrm{O}$ の平面に関する対称点 ${\mathrm{O}}^{\prime }$ を求める。

$\mathrm{O}$ から平面に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ は、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\vec{n}=(t,t,2t)$ と書ける。これが平面上にあるから $t+t+4t=4$ より $t=\frac{2}{3}$ である。よって $\mathrm{H}\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)$ である。

${\mathrm{O}}^{\prime }$ を $\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }}=2\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ で定めると ${\mathrm{O}}^{\prime }\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)$ である。

平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ について、$\overrightarrow{\mathrm{HP}}\perp \vec{n}$ である。また $\mathrm{OH}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{H}$ だから、三平方の定理より
$${\mathrm{OP}}^2={\mathrm{OH}}^2+{\mathrm{HP}}^2={{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{H}}^2+{\mathrm{HP}}^2={{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}}^2$$
となる。よって $\mathrm{OP}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}$ である。

位置関係を確認する。

$f(x,y,z)=x+y+2z-4$ とおく。
- $f(\mathrm{O})=-4<0$
- $f(\mathrm{Q})=2+1-2-4=-3<0$
- $f({\mathrm{O}}^{\prime })=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{16}{3}-4=4>0$

よって $\mathrm{O}$ と $\mathrm{Q}$ は平面の同じ側にあり、${\mathrm{O}}^{\prime }$ と $\mathrm{Q}$ は反対側にある。

したがって
$$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PQ}\ge {\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}$$
が成り立つ。等号は $\mathrm{P}$ が線分 ${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}$ と平面の交点 $\mathrm{R}$ に一致するときに成り立つ。

交点 $\mathrm{R}$ を求める。

$\overrightarrow{\mathrm{Q}{\mathrm{O}}^{\prime }}=\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{11}{3}\right)$ より、線分上の点は
$$\left(2-\frac{2}{3}s,1+\frac{1}{3}s,-1+\frac{11}{3}s\right)(0\le s\le 1)$$
と表せる。これを $x+y+2z=4$ に代入すると
$$\left(2-\frac{2}{3}s\right)+\left(1+\frac{1}{3}s\right)+2\left(-1+\frac{11}{3}s\right)=4$$
となり、整理して $1+7s=4$、すなわち $s=\frac{3}{7}$ を得る。$0\le s\le 1$ を満たすので、$\mathrm{R}\left(\frac{12}{7},\frac{8}{7},\frac{4}{7}\right)$ である。

$\mathrm{R}$ が三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部にあることを確認する。

平面上の点 $(x,y,z)$ は
$$\frac{x}{4}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{y}{4}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{z}{2}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$
と表せ、係数の和は $\frac{x+y+2z}{4}=1$ である。

$\mathrm{R}$ では係数が $\frac{3}{7},\frac{2}{7},\frac{2}{7}$ となり、すべて正である。よって $\mathrm{R}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部にあり、等号は実際に成立する。

最小値を計算する。
$${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}=\sqrt{{\left(2-\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(1-\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(-1-\frac{8}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4+1+121}{9}}=\sqrt{\frac{126}{9}}=\sqrt{14}$$

よって、求める最小値は $\sqrt{14}$ である。

平面 $\mathrm{ABC}$ の方程式は $x+y+2z=4$ である。

$\mathrm{O}$ では $x+y+2z=0<4$、$\mathrm{Q}(2,1,-1)$ では $2+1-2=1<4$ なので、$\mathrm{O}$ と $\mathrm{Q}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ の同じ側にある。そこで $\mathrm{Q}$ を平面について対称移動した点 ${\mathrm{Q}}^{\prime }$ を使う。

法線ベクトルは $\vec{n}=(1,1,2)$ で $|\vec{n}{|}^2=6$ である。$\mathrm{Q}$ から平面までの符号付き値は $1-4=-3$ なので、
${\mathrm{Q}}^{\prime }=\mathrm{Q}-2\cdot \frac{-3}{6}\vec{n}=\mathrm{Q}+\vec{n}=(3,2,1)$。

$\mathrm{P}$ は平面上の点なので $\mathrm{PQ}={\mathrm{PQ}}^{\prime }$ であり、$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}=\mathrm{OP}+{\mathrm{PQ}}^{\prime }\ge {\mathrm{OQ}}^{\prime }$ となる。

等号は線分 ${\mathrm{OQ}}^{\prime }$ と平面の交点を $\mathrm{P}$ とするときに成り立つ。この交点が三角形 $\mathrm{ABC}$ の周および内部にあるかを確かめる。$t(3,2,1)$ を平面の式に代入すると $7t=4$ より $t=\frac{4}{7}$。交点は $\left(\frac{12}{7},\frac{8}{7},\frac{4}{7}\right)$ で、$0<t<1$ かつ座標がすべて正である。平面上で座標がすべて正の点は三角形の内部にあるから、この点は三角形 $\mathrm{ABC}$ 内にある。

よって最小値は ${\mathrm{OQ}}^{\prime }=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$。