ベクトルの問題

1. 平面の方程式と、O と Q が同じ側にあるかの判定

3 点 $\mathrm{A}(3,0,0)$, $\mathrm{B}(0,3,0)$, $\mathrm{C}(0,0,3)$ を通る平面 $\alpha$ の方程式は
$$x+y+z=3$$
である。$f(x,y,z)=x+y+z-3$ とおく。

• $f(0,0,0)=-3<0$
• $f(1,1,0)=1+1+0-3=-1<0$

符号が同じなので、$\mathrm{O}$ と $\mathrm{Q}$ は平面 $\alpha$ に関して同じ側にある。このままでは $\mathrm{O}$ と $\mathrm{Q}$ を結ぶ線分が平面と交わらないので、$\mathrm{Q}$ の対称点を考える。

2. 平面 $\alpha$ に関する Q の対称点 Q' を求める

平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $\vec{n}=(1,1,1)$ である。$\mathrm{Q}$ から $\alpha$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、$\overrightarrow{\mathrm{QH}}=t\vec{n}$（$t$ は実数）と表せるから
$$\mathrm{H}(1+t,1+t,t)$$
$\mathrm{H}$ は $\alpha$ 上にあるので
$$(1+t)+(1+t)+t=3\text{より}3t=1,t=\frac{1}{3}$$
対称点 ${\mathrm{Q}}^{\prime }$ は $\overrightarrow{\mathrm{Q}{\mathrm{Q}}^{\prime }}=2\overrightarrow{\mathrm{QH}}=\frac{2}{3}(1,1,1)$ を満たすから
$${\mathrm{Q}}^{\prime }\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3},\frac{2}{3}\right)$$

3. 不等式 $\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}\geqq \mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }$ を使う

$\mathrm{P}$ は平面 $\alpha$ 上の点なので、対称性から $\mathrm{PQ}=\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^{\prime }$ である。よって
$$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}=\mathrm{OP}+\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^{\prime }\geqq \mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }$$
$$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }=\sqrt{{\left(\frac{5}{3}\right)}^2+{\left(\frac{5}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25+25+4}{9}}=\sqrt{\frac{54}{9}}=\sqrt{6}$$

4. 等号が成り立つ P が三角形 ABC 上にあることの確認

等号は $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }$ と平面 $\alpha$ の交点のときに成り立つ。線分 $\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }$ 上の点は $s\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3},\frac{2}{3}\right)$（$0\leqq s\leqq 1$）と表せ、$\alpha$ 上にある条件は
$$\frac{5}{3}s+\frac{5}{3}s+\frac{2}{3}s=4s=3\text{より}s=\frac{3}{4}$$
このとき交点は $\left(\frac{5}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{2}\right)$ で、各座標が正で和が $3$ なので、三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部にある。

したがって、$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}$ の最小値は $\sqrt{6}$ である。

三角形 ABC は平面 $x+y+z=3$ 上にある。O と Q は $x+y+z<3$ の側にあり（O は $0$、Q は $2$）、平面に対して同じ側にある。

O を平面 $x+y+z=3$ に関して対称移動した点を O' とする。O から平面に下ろした垂線の足は $(1,1,1)$ なので、${\mathrm{O}}^{\prime }(2,2,2)$ である。平面上の点 P について $\mathrm{OP}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}$ なので、
$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PQ}\ge {\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}$
が成り立つ。

O' は $x+y+z=6>3$ の側、Q は $2<3$ の側にあるので、線分 O'Q は平面と交わる。交点は $\mathrm{Q}+t({\mathrm{O}}^{\prime }-\mathrm{Q})=(1+t,1+t,2t)$ と表せる。$x+y+z=2+4t=3$ より $t=\frac{1}{4}$ で、交点は $\left(\frac{5}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{2}\right)$ である。

この点は座標がすべて正で、$x+y+z=3$ を満たすので、三角形 ABC の内部にある。したがって P をこの点にとれば等号が成り立つ。

最小値は ${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}=\sqrt{(2-1{)}^2+(2-1{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{6}$ である。

検算：$\mathrm{P}=\left(\frac{5}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{2}\right)$ のとき、$\mathrm{OP}=\sqrt{\frac{25+25+4}{16}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$、$\mathrm{PQ}=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。和は $\sqrt{6}$ で一致する。