ベクトルの問題

1. 平面 ABC の方程式

3 点 $\mathrm{A}(2,0,0)$, $\mathrm{B}(0,4,0)$, $\mathrm{C}(0,0,4)$ を通る平面は
$$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1\text{すなわち}2x+y+z=4$$
である。法線ベクトルは $\vec{n}=(2,1,1)$ である。

2. O と Q が平面の同じ側にあるかの判定

$f(x,y,z)=2x+y+z-4$ とおく。
$$f(\mathrm{O})=-4<0,f(\mathrm{Q})=2\cdot (-1)+2+1-4=-3<0$$
となり、符号が同じなので、$\mathrm{O}$ と $\mathrm{Q}$ は平面 ABC に関して同じ側にある。このままでは線分 OQ は平面と交わらないので、Q を平面に関して折り返す。

3. 垂線の足 H と対称点 Q' を求める

Q から平面に下ろした垂線の足を H とすると、$\overrightarrow{\mathrm{QH}}$ は $\vec{n}$ に平行なので、実数 $k$ を用いて
$$\mathrm{H}=(-1+2k,2+k,1+k)$$
と表せる。H は平面上にあるから
$$2(-1+2k)+(2+k)+(1+k)=4$$
$$6k+1=4\text{より}k=\frac{1}{2}$$
よって $\mathrm{H}\left(0,\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$。

Q の平面に関する対称点を Q' とすると、H は線分 QQ' の中点なので
$${\mathrm{Q}}^{\prime }=2\mathrm{H}-\mathrm{Q}=\left(0+1,5-2,3-1\right)=(1,3,2)$$

4. 折れ線の長さを線分におきかえる

平面 ABC は線分 QQ' の垂直二等分面なので、平面上の任意の点 P について $\mathrm{PQ}=\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^{\prime }$ である。また、$f({\mathrm{Q}}^{\prime })=2+3+2-4=3>0$ なので、O と Q' は平面の反対側にある。よって
$$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}=\mathrm{OP}+\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^{\prime }\geqq \mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }=\sqrt{1^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}$$
等号は P が線分 OQ' と平面の交点のときに成り立つ。

5. 交点が三角形 ABC 上にあるかの確認

線分 OQ' 上の点は $(t,3t,2t)$ $(0\leqq t\leqq 1)$ と表せる。平面の方程式に代入すると $2t+3t+2t=4$ より $t=\frac{4}{7}$ で、交点は $\mathrm{R}\left(\frac{4}{7},\frac{12}{7},\frac{8}{7}\right)$。

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+u\overrightarrow{\mathrm{OB}}+v\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(2s,4u,4v)$ とすると $s=\frac{2}{7}$, $u=\frac{3}{7}$, $v=\frac{2}{7}$ で、$s+u+v=1$ かつ $s,u,v\geqq 0$ なので、R は三角形 ABC の内部にある。したがって P = R のとき最小値をとる。

以上より、求める最小値は $\sqrt{14}$ である。

平面 ABC の方程式は $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$、すなわち $2x+y+z=4$ である。
原点 O では $2x+y+z=0<4$、Q では $-2+2+1=1<4$ なので、O と Q は平面 ABC について同じ側にある。

O を平面 ABC について対称移動した点を O' とする。平面の法線ベクトルは $(2,1,1)$ で、$|(2,1,1){|}^2=6$ である。O から平面までの符号付き量は $4-0=4$ なので、${\mathrm{O}}^{\prime }=\frac{2\cdot 4}{6}(2,1,1)=\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$ となる。

P は平面上の点なので $\mathrm{OP}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}$ である。よって $\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PQ}\ge {\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}$ である。

$\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}}=\left(-\frac{11}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$ より、${{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}}^2=\frac{121+4+1}{9}=14$ なので ${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}=\sqrt{14}$ である。

等号成立には、線分 O'Q と平面 ABC の交点が三角形 ABC の周または内部にあることが必要である。
$2x+y+z$ の値は O' で 8、Q で 1 である。$t$ を媒介変数として、これが 4 になるのは $t=\frac{4}{7}$ のときである。
このとき交点は $\left(\frac{4}{7},\frac{12}{7},\frac{8}{7}\right)$ で、座標がすべて正であり、$2x+y+z=\frac{8+12+8}{7}=4$ を満たす。よって交点は三角形 ABC の内部にあり、等号は成立する。

最小値は $\sqrt{14}$。