ベクトルの問題

手順 1：O と A が平面 $\alpha$ の同じ側にあるかを調べる。

$f(x,y,z)=2x+y+2z-9$ とおく。

$$f(0,0,0)=-9<0,f(0,2,1)=0+2+2-9=-5<0$$

符号が同じなので、$\mathrm{O}$ と $\mathrm{A}$ は $\alpha$ の同じ側にある。このままでは線分 $\mathrm{OA}$ は $\alpha$ と交わらないので、一方の点を $\alpha$ に関して対称に移す。

手順 2：O から $\alpha$ に下ろした垂線の足 H を求める。

$\alpha$ の法線ベクトルは $\vec{n}=(2,1,2)$ である。$\mathrm{OH}$ は $\vec{n}$ に平行なので、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t(2,1,2)=(2t,t,2t)$ と表せる。$\mathrm{H}$ は $\alpha$ 上にあるから

$$2\cdot 2t+t+2\cdot 2t=9⟹9t=9⟹t=1$$

よって $\mathrm{H}(2,1,2)$ である。

手順 3：対称点 O' を求める。

$\mathrm{H}$ は線分 $\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$ の中点だから、$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }}=2\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(4,2,4)$ となり、${\mathrm{O}}^{\prime }(4,2,4)$ である。

$f(4,2,4)=8+2+8-9=9>0$ なので、${\mathrm{O}}^{\prime }$ と $\mathrm{A}$ は $\alpha$ の反対側にある。

手順 4：折れ線を 1 本の線分に直す。

$\alpha$ は線分 $\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$ の垂直二等分面である。したがって、$\alpha$ 上のどの点 $\mathrm{P}$ についても $\mathrm{OP}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}$ が成り立ち、

$$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PA}\geqq {\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{A}$$

となる。${\mathrm{O}}^{\prime }$ と $\mathrm{A}$ は $\alpha$ の反対側にあるので、線分 ${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{A}$ は $\alpha$ と交わる。その交点を $\mathrm{P}$ とすると等号が成り立つ。

手順 5：O'A の長さを計算する。

$$\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{A}}=(0-4,2-2,1-4)=(-4,0,-3)$$

$${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{A}=\sqrt{(-4{)}^2+0^2+(-3{)}^2}=\sqrt{25}=5$$

（参考：このときの $\mathrm{P}$ は、${\mathrm{O}}^{\prime }+s(-4,0,-3)$ を $\alpha$ の式に代入して $18-14s=9$、すなわち $s=\frac{9}{14}$ から求まり、$\mathrm{P}\left(\frac{10}{7},2,\frac{29}{14}\right)$ である。）

よって、求める最小値は $5$ である。

平面 $\alpha :2x+y+2z=9$ について、O と A がどちら側にあるかを調べる。O では $2x+y+2z=0<9$、A では $0+2+2=4<9$ なので、O と A は平面に関して同じ側にある。

A を平面 $\alpha$ に関して対称移動した点を A' とする。法線ベクトルは $(2,1,2)$ で、大きさは 3 である。A から平面までの距離は $(9-4)/3=5/3$ である。

A' は A から法線方向に $2\cdot \frac{5}{3}=\frac{10}{3}$ だけ進んだ点である。単位法線ベクトルは $\frac{1}{3}(2,1,2)$ なので、
${\mathrm{A}}^{\prime }=(0,2,1)+\frac{10}{9}(2,1,2)=\left(\frac{20}{9},\frac{28}{9},\frac{29}{9}\right)$

P が平面上にあるとき $\mathrm{PA}=\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }$ だから、$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}=\mathrm{OP}+\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }\ge \mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }$ である。

O と A' は平面の反対側にあるので、線分 OA' は平面と交わり、等号が成立する P が存在する。

${\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}^2=\frac{400+784+841}{81}=\frac{2025}{81}=25$

よって $\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }=5$ である。

検算：A' の座標を平面の式に代入すると、$2\cdot \frac{20}{9}+\frac{28}{9}+2\cdot \frac{29}{9}=\frac{126}{9}=14$ となる。A の値 4 と平面の値 9 を使うと $2\cdot 9-4=14$ で一致する。

最小値は 5。