平面に関する対称点と最短経路

平面に関して点 Q と対称な点 Q' を垂線の足を使って求め、 $OP + PQ ≧ O Q^{'}$ から、点 P が平面（三角形）上を動くときの折れ線の長さの最小値を求められる（O と Q が平面の同じ側にあるかの判定も含む）

前提

空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）

説明

空間で、点 O から平面上の点 P を経由して点 Q へ行く折れ線 $OP + PQ$ の長さの最小値を求める技能です。平面に関して Q と対称な点 Q' を作ると、折れ線の長さを O から Q' までの道のりに置きかえられます。その結果、最小値は線分 $O Q^{'}$ の長さになります。光の反射の経路や、立体の面を通る最短経路の問題で使います。

なぜそうしてよいのか

平面上に点 H をとり、ベクトル $QH$ が平面に垂直になるようにします。この H は、Q から平面に下ろした垂線の足です。H が線分 $Q Q^{'}$ の中点になるように点 Q' をとると、 $O Q^{'} = 2 OH - OQ$ です。この Q' を、平面に関して Q と対称な点といいます。

平面上のどの点 P についても $PQ = P Q^{'}$ が成り立ちます。 $PQ = PH + HQ$ と分けると、 $PH$ は平面内のベクトル、 $HQ$ は平面に垂直なベクトルなので、内積は $PH \cdot HQ = 0$ です。よって $∣ PQ ∣^{2} = ∣ PH ∣^{2} + ∣ HQ ∣^{2}$ となります。同じように $∣ P Q^{'} ∣^{2} = ∣ PH ∣^{2} + ∣ H Q^{'} ∣^{2}$ が成り立ち、 $∣ HQ ∣ = ∣ H Q^{'} ∣$ なので、2 つは等しくなります。したがって $OP + PQ = OP + P Q^{'} ≧ O Q^{'}$ です。最後の不等号は、三角形の 2 辺の長さの和が残りの 1 辺以上であることによります（O, P, Q' が一直線上にある場合も含めて成り立ちます）。等号は P が線分 $O Q^{'}$ 上にあるとき、つまり P が線分 $O Q^{'}$ と平面の交点のときに成り立ちます。

この方法が意味をもつのは、O と Q が平面の同じ側にあるときです。判定には、平面に垂直なベクトル $n$ （法線ベクトル）と、平面上の点 A を使います。どんな点 X も、平面上の点 $X_{0}$ に $c n$ を加えた形に表せます。 $AX = A X_{0} + c n$ の両辺と $n$ の内積をとると、 $A X_{0} \cdot n = 0$ なので $c = \frac{AX \cdot n}{∣ n ∣ ^{2}}$ です。 $c$ の符号が X のいる側を表すので、 $AO \cdot n$ と $AQ \cdot n$ の符号が同じなら同じ側、異なれば反対側です。反対側なら線分 $OQ$ がそのまま平面と交わるので、Q' は使いません。そのときは、交点が P の動ける範囲にあれば最小値は $OQ$ です。

手順

平面上の 2 つのベクトル（例: $AB, AC$ ）の両方と内積が 0 になる、 $0$ でないベクトル $n$ を 1 つ求める。
$AO \cdot n$ と $AQ \cdot n$ の符号を比べる。同じ符号なら O と Q は平面の同じ側なので、次へ進む。異なる符号なら線分 $OQ$ が平面と交わる。
Q から平面に下ろした垂線の足 H を求める。 $OH = OQ + k n$ とおき、 $AH \cdot n = 0$ から $k$ を決める。
対称点 Q' を求める: $O Q^{'} = 2 OH - OQ$
線分 $O Q^{'}$ と平面の交点 R を求め、R が P の動ける範囲にあるかを確かめる。範囲が三角形 ABC なら、 $AR = s AB + t AC$ と表して $s ≧ 0, t ≧ 0, s + t ≦ 1$ を確認する。
$OP + PQ = OP + P Q^{'} ≧ O Q^{'}$ で、等号は $P = R$ のときに成り立つ。よって最小値は $∣ O Q^{'} ∣$ である。

例題

原点を O とし、3 点 $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (0, 0, 2)$ と点 $Q (- 1, 0, 0)$ をとる。点 P が三角形 ABC の周および内部を動くとき、 $OP + PQ$ の最小値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $AB = (- 2, 2, 0)$ 、 $AC = (- 2, 0, 2)$ である。 $n = (x, y, z)$ とおくと、 $n \cdot AB = - 2 x + 2 y = 0$ 、 $n \cdot AC = - 2 x + 2 z = 0$ より $x = y = z$ である。そこで $n = (1, 1, 1)$ とする。
【手順 2】 $AO = (- 2, 0, 0)$ より $AO \cdot n = - 2$ 。 $AQ = (- 3, 0, 0)$ より $AQ \cdot n = - 3$ 。どちらも負なので、O と Q は平面 ABC の同じ側にある。
【手順 3】 $OH = (- 1, 0, 0) + k (1, 1, 1) = (- 1 + k, k, k)$ とおく。 $AH = OH - OA = (- 3 + k, k, k)$ なので、 $AH \cdot n = - 3 + 3 k = 0$ より $k = 1$ 。よって $H (0, 1, 1)$ である。
【手順 4】 $O Q^{'} = 2 (0, 1, 1) - (- 1, 0, 0) = (1, 2, 2)$ より $Q^{'} (1, 2, 2)$ である。
【手順 5】線分 $O Q^{'}$ 上の点を $R (u, 2 u, 2 u)$ $(0 ≦ u ≦ 1)$ とおく。 $AR = (u - 2, 2 u, 2 u)$ なので、 $AR \cdot n = (u - 2) + 2 u + 2 u = 5 u - 2 = 0$ より $u = \frac{2}{5}$ で、 $R (\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, \frac{4}{5})$ である。このとき $AR = (- \frac{8}{5}, \frac{4}{5}, \frac{4}{5})$ である。次に $AR = s AB + t AC$ とおくと、右辺の成分は $(- 2 s - 2 t, 2 s, 2 t)$ である。これを $(- \frac{8}{5}, \frac{4}{5}, \frac{4}{5})$ と比べると、 $y$ 成分と $z$ 成分から $s = t = \frac{2}{5}$ で、 $x$ 成分も $- 2 \cdot \frac{2}{5} - 2 \cdot \frac{2}{5} = - \frac{8}{5}$ となって一致する。 $s ≧ 0, t ≧ 0, s + t = \frac{4}{5} ≦ 1$ を満たすので、R は三角形 ABC の周または内部（実際には内部）にある。
【手順 6】 $OP + PQ = OP + P Q^{'} ≧ O Q^{'} = 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 3$ である。等号は $P = R$ のとき成り立つ。よって最小値は $3$ である。

答え: $3$

よくある誤り

O と Q が同じ側にあるのに、最小値を $OQ$ としてしまう誤り。正しくは、P は平面上になければならないが、線分 $OQ$ は平面を通らない。例題では $OQ = 1$ ではなく、対称点を使った $O Q^{'} = 3$ が最小値である。
対称点を垂線の足 H そのものにしたり、 $O Q^{'} = OH + OQ$ としてしまう誤り。正しくは、H が線分 $Q Q^{'}$ の中点なので $O Q^{'} = 2 OH - OQ$ である。例題では $(1, 2, 2)$ になる。
$AR = s AB + t AC$ の成分を、点 R の座標と直接比べてしまう誤り。正しくは、 $AR$ の成分 $(- \frac{8}{5}, \frac{4}{5}, \frac{4}{5})$ と比べるか、 $OR = OA + s AB + t AC = (2 - 2 s - 2 t, 2 s, 2 t)$ として R の座標と比べる。
線分 $O Q^{'}$ と平面の交点が三角形の周または内部にあるかを確かめずに、 $O Q^{'}$ を答えてしまう誤り。正しくは、 $s ≧ 0, t ≧ 0, s + t ≦ 1$ を満たすことを確認する。満たさなければ等号が成り立たず、 $O Q^{'}$ は最小値にならない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

平面に関する対称点と最短経路

前提

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なぜそうしてよいのか

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よくある誤り

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