ベクトルの問題

1. 平面 $\alpha$ の法線ベクトル

$\vec{n}=(1,2,2)$ とおく。平面 $\alpha$ 上の 2 点を結ぶベクトル $(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$ は $(x_1-x_2)+2(y_1-y_2)+2(z_1-z_2)=12-12=0$ を満たすので、$\vec{n}$ と内積が $0$ になる。よって $\vec{n}$ は $\alpha$ の法線ベクトルである。

2. S の $\alpha$ に関する対称点 S${}^{\prime }$

$\mathrm{S}{\mathrm{S}}^{\prime }\perp \alpha$ より、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{S}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{OS}}+t\vec{n}=(1+t,2t,1+2t)$ と書ける。線分 $\mathrm{S}{\mathrm{S}}^{\prime }$ の中点 $\left(1+\frac{t}{2},t,1+t\right)$ が $\alpha$ 上にあるので
$$\left(1+\frac{t}{2}\right)+2t+2(1+t)=12$$
$$3+\frac{9}{2}t=12$$
より $t=2$ である。よって ${\mathrm{S}}^{\prime }(3,4,5)$。

3. T の $xy$ 平面に関する対称点 T${}^{\prime }$

$z$ 座標の符号を変えて ${\mathrm{T}}^{\prime }(1,3,-2)$。

4. 4 点が一直線上に並ぶこと

$\mathrm{P}$ での反射の規則より、反射後の光は直線 ${\mathrm{S}}^{\prime }\mathrm{P}$ 上を $\mathrm{P}$ から ${\mathrm{S}}^{\prime }$ と反対向きに進み、$\mathrm{Q}$ に達する。よって ${\mathrm{S}}^{\prime },\mathrm{P},\mathrm{Q}$ はこの順に一直線上にある。

$\mathrm{Q}$ では、$\mathrm{P}$ の $xy$ 平面に関する対称点を ${\mathrm{P}}^{\prime }$ とすると、反射後の光は直線 ${\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{Q}$ 上を $\mathrm{Q}$ から ${\mathrm{P}}^{\prime }$ と反対向きに進み、$\mathrm{T}$ を通る。この図形全体を $xy$ 平面に関して対称移動する。このとき $\mathrm{Q}$ は動かず、${\mathrm{P}}^{\prime }$ は $\mathrm{P}$ に、$\mathrm{T}$ は ${\mathrm{T}}^{\prime }$ に移る。したがって ${\mathrm{T}}^{\prime }$ は直線 $\mathrm{PQ}$ 上の、$\mathrm{Q}$ から見て $\mathrm{P}$ と反対側にある。

以上より、${\mathrm{S}}^{\prime },\mathrm{P},\mathrm{Q},{\mathrm{T}}^{\prime }$ はこの順に一直線上に並ぶ。

5. 交点の計算

$\overrightarrow{{\mathrm{S}}^{\prime }{\mathrm{T}}^{\prime }}=(1-3,3-4,-2-5)=(-2,-1,-7)$ なので、直線 ${\mathrm{S}}^{\prime }{\mathrm{T}}^{\prime }$ 上の点は実数 $k$ を用いて
$$(3-2k,4-k,5-7k)$$
と表せる（$k=0$ で ${\mathrm{S}}^{\prime }$、$k=1$ で ${\mathrm{T}}^{\prime }$）。

• $\alpha$ との交点: $(3-2k)+2(4-k)+2(5-7k)=21-18k=12$ より $k=\frac{1}{2}$。よって $\mathrm{P}\left(2,\frac{7}{2},\frac{3}{2}\right)$。
• $xy$ 平面との交点: $5-7k=0$ より $k=\frac{5}{7}$。よって $x=3-\frac{10}{7}=\frac{11}{7}$、$y=4-\frac{5}{7}=\frac{23}{7}$ となり、$\mathrm{Q}\left(\frac{11}{7},\frac{23}{7},0\right)$。

$0<\frac{1}{2}<\frac{5}{7}<1$ なので、${\mathrm{S}}^{\prime },\mathrm{P},\mathrm{Q},{\mathrm{T}}^{\prime }$ の順に並んでおり、4 の条件を満たす。

6. 確認

実際にこの経路で光が進むことを、方向ベクトルで確かめる。

• $\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\left(1,\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$ は $\vec{d}=(2,7,1)$ と同じ向き。$\vec{d}\cdot \vec{n}=2+14+2=18$、$|\vec{n}{|}^2=9$ より、$\alpha$ で反射した向きは $\vec{d}-\frac{2\cdot 18}{9}\vec{n}=(2,7,1)-4(1,2,2)=(-2,-1,-7)$ となる。これは $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\left(-\frac{3}{7},-\frac{3}{14},-\frac{3}{2}\right)$ と同じ向きである。
• $\overrightarrow{\mathrm{QT}}=\left(-\frac{4}{7},-\frac{2}{7},2\right)$ は $(-2,-1,7)$ と同じ向きで、これは $(-2,-1,-7)$ の $z$ 成分の符号を変えたもの（$xy$ 平面での反射）に一致する。

また、$\mathrm{P}$ の $z$ 座標は $\frac{3}{2}>0$ である。$\mathrm{S},\mathrm{T},\mathrm{Q}$ について $x+2y+2z$ の値はそれぞれ $3,11,\frac{57}{7}$ で、いずれも $12$ 以下である。したがって、各区間の途中で光が他の鏡に当たることもない。

よって $\mathrm{Q}\left(\frac{11}{7},\frac{23}{7},0\right)$。

光の経路 S→P→Q→T を「展開」して直線にする。

平面 $\alpha$ に関する S の対称点を S' とする。法線ベクトルは $n=(1,2,2)$、$|n{|}^2=9$。S では $1+0+2-12=-9$ なので、$S^{\prime }=S-2\cdot \frac{-9}{9}n=S+2n=(3,4,5)$。

$xy$ 平面に関する T の対称点を T' とすると、$T^{\prime }(1,3,-2)$。

反射の性質から、S'、P、Q、T' はこの順に一直線上に並ぶ。

直線 S'T' の方向ベクトルは $T^{\prime }-S^{\prime }=(-2,-1,-7)$ なので、$(x,y,z)=(3-2t,4-t,5-7t)$ と表せる。

$z=0$ とすると $t=\frac{5}{7}$。よって $Q=\left(3-\frac{10}{7},4-\frac{5}{7},0\right)=\left(\frac{11}{7},\frac{23}{7},0\right)$。

確認として、$\alpha$ との交点 P を求める。$x+2y+2z=21-18t=12$ より $t=\frac{1}{2}$。このとき $P=(2,\frac{7}{2},\frac{3}{2})$。

$t=\frac{1}{2}<\frac{5}{7}$ なので P が Q より先にあり、順序は正しい。また S と T は $\alpha$ の同じ側にあり、$xy$ 平面の同じ側（$z>0$）にある。S から P の間で $z$ は $1$ から $\frac{3}{2}$ に増えるだけで、$xy$ 平面を横切らない。よって条件を満たす。

答え: $Q\left(\frac{11}{7},\frac{23}{7},0\right)$