ベクトルの問題

平面 $\alpha$ の表し方

$\mathrm{D}(6,0,0)$, $\mathrm{E}(0,6,0)$, $\mathrm{F}(0,0,6)$ とおく。点 $\mathrm{X}(x,y,z)$ が $\alpha$ 上にあるのは、$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=s\overrightarrow{\mathrm{OD}}+t\overrightarrow{\mathrm{OE}}+u\overrightarrow{\mathrm{OF}}$, $s+t+u=1$ と表せるときで、このとき $(x,y,z)=(6s,6t,6u)$ より $x+y+z=6$。逆に $x+y+z=6$ なら $s=\frac{x}{6}$, $t=\frac{y}{6}$, $u=\frac{z}{6}$ とおけばよい。よって $\alpha$ 上の点は $x+y+z=6$ を満たす点全体である。

また $\vec{n}=(1,1,1)$ とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{DE}}=(-6,6,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{DF}}=(-6,0,6)$ との内積はともに $0$ なので、$\vec{n}$ は $\alpha$ に垂直である。

鍵: 折れ線を対称移動でまっすぐにする

(1) $\mathrm{A}$ の $\alpha$ に関する対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$。$\mathrm{A}$ から $\alpha$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\vec{n}=(1+k,1+k,1+k)$ で、$\mathrm{H}$ は $\alpha$ 上にあるから $3(1+k)=6$、$k=1$。よって $\mathrm{H}(2,2,2)$ で、$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\vec{n}$ より ${\mathrm{A}}^{\prime }(3,3,3)$。

$\alpha$ 上の任意の点 $\mathrm{P}$ について、$\overrightarrow{\mathrm{HP}}$ は $\alpha$ 上のベクトルなので $\overrightarrow{\mathrm{HP}}\cdot \vec{n}=0$。$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\vec{n}$, $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{H}}=-\vec{n}$ だから
$${\mathrm{AP}}^2=|\vec{n}+\overrightarrow{\mathrm{HP}}{|}^2=|\vec{n}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{HP}}{|}^2=|-\vec{n}+\overrightarrow{\mathrm{HP}}{|}^2={{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}}^2$$
すなわち $\mathrm{AP}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}$。

(2) $\mathrm{B}$ の $xy$ 平面に関する対称点 ${\mathrm{B}}^{\prime }(2,0,-1)$。$xy$ 平面上の任意の点 $\mathrm{Q}(q_1,q_2,0)$ について
$${\mathrm{QB}}^2=(q_1-2{)}^2+q_2^2+1={\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }}^2$$
より $\mathrm{QB}=\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }$。

下からの評価

よって、三角形の 2 辺の和は他の 1 辺以上であること（$|\vec{u}+\vec{v}|\leqq |\vec{u}|+|\vec{v}|$）を 2 回使って
$$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PQ}+\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }\geqq {\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{Q}+\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }\geqq {\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$$
ここで $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}=(-1,-3,-4)$ より
$${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}$$

等号が成り立つこと

等号は、$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ が線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ 上に ${\mathrm{A}}^{\prime },\mathrm{P},\mathrm{Q},{\mathrm{B}}^{\prime }$ の順に並ぶとき成り立つ。線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ 上の点は
$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}+r\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }}=(3-r,3-3r,3-4r)(0\leqq r\leqq 1)$$
と表せる。$\alpha$ との交点は $(3-r)+(3-3r)+(3-4r)=6$ より $r=\frac{3}{8}$ で、${\mathrm{P}}_0\left(\frac{21}{8},\frac{15}{8},\frac{3}{2}\right)$。$xy$ 平面との交点は $3-4r=0$ より $r=\frac{3}{4}$ で、${\mathrm{Q}}_0\left(\frac{9}{4},\frac{3}{4},0\right)$。$0<\frac{3}{8}<\frac{3}{4}<1$ なので、${\mathrm{A}}^{\prime },{\mathrm{P}}_0,{\mathrm{Q}}_0,{\mathrm{B}}^{\prime }$ はこの順に線分上に並び、$\mathrm{P}={\mathrm{P}}_0$, $\mathrm{Q}={\mathrm{Q}}_0$ のとき
$$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{P}}_0+{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0+{\mathrm{Q}}_0{\mathrm{B}}^{\prime }={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=\sqrt{26}$$
となる。

したがって、求める最小値は $\sqrt{26}$ である。

平面 $\alpha$ は $x+y+z=6$。A, B はともに $x+y+z=3<6$ で、$\alpha$ に関して原点と同じ側にある。また A, B はともに $z=1>0$ で $xy$ 平面の同じ側にある。

A の $\alpha$ に関する対称点を A' とする。法線ベクトル $(1,1,1)$ の向きに、A から $\alpha$ までの距離の 2 倍だけ進めばよい。A の座標和は 3、$\alpha$ は 6 なので、A' $=\mathrm{A}+2\cdot \frac{6-3}{3}(1,1,1)=(3,3,3)$。
B の $xy$ 平面に関する対称点を B' とすると B' $=(2,0,-1)$。

P が $\alpha$ 上にあるので $\mathrm{AP}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}$、Q が $xy$ 平面上にあるので $\mathrm{QB}=\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }$。よって
$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PQ}+\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }\ge {\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$。

等号が成り立つ（実現できる）かを確かめる。線分 A'B' 上の点は $(3-s,3-3s,3-4s)$（$0\le s\le 1$）。
- $\alpha$ との交点 P: $x+y+z=9-8s=6$ より $s=\frac{3}{8}$、P $=\left(\frac{21}{8},\frac{15}{8},\frac{3}{2}\right)$。
- $xy$ 平面との交点 Q: $3-4s=0$ より $s=\frac{3}{4}$、Q $=\left(\frac{9}{4},\frac{3}{4},0\right)$。
$\frac{3}{8}<\frac{3}{4}$ なので、A' → P → Q → B' の順に線分上に並び、等号が成立する。

最小値は ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=\sqrt{(3-2{)}^2+(3-0{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}$。

検算: AP $={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}$ は $s$ の区間 $[0,3/8]$ の長さ $\frac{3}{8}\sqrt{26}$、PQ は $\frac{3}{8}\sqrt{26}$、QB $=\mathrm{Q}{\mathrm{B}}^{\prime }$ は $\frac{1}{4}\sqrt{26}$。合計 $\left(\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{4}\right)\sqrt{26}=\sqrt{26}$。