ベクトルの問題

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とし、四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積を $V$ とする。条件より
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2}{3}\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{-1\cdot \vec{0}+2\vec{b}}{2-1}=2\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{1}{3}\vec{c}$$
である。

平面 PQR の条件
点 $\mathrm{X}$ が $\overrightarrow{\mathrm{OX}}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ と表されるとする。$\mathrm{X}$ が平面 $\mathrm{PQR}$ 上にあるのは、$\alpha +\beta +\gamma =1$ を満たす実数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ により $\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{OR}}$ と書けるときである。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は 1 次独立なので $x=\frac{2}{3}\alpha$, $y=2\beta$, $z=\frac{1}{3}\gamma$ となる。よって条件は
$$f(x,y,z)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}y+3z=1(1)$$
である。

各頂点の位置
$f$ の値は $\mathrm{O}$ で $0$、$\mathrm{A}$ で $\frac{3}{2}$、$\mathrm{B}$ で $\frac{1}{2}$、$\mathrm{C}$ で $3$ である。したがって、$\mathrm{O},\mathrm{B}$ は $f<1$ の側にあり、$\mathrm{A},\mathrm{C}$ は $f>1$ の側にある。

平面と辺の交点
- 辺 $\mathrm{AB}$ 上の点 $(1-s)\vec{a}+s\vec{b}$ $(0\le s\le 1)$ を $(1)$ に代入すると、$\frac{3}{2}(1-s)+\frac{1}{2}s=1$ より $s=\frac{1}{2}$ である。この点を $\mathrm{S}$ とすると、$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$ となり、$\mathrm{S}$ は $\mathrm{AB}$ の中点である。
- 辺 $\mathrm{BC}$ 上の点 $(1-u)\vec{b}+u\vec{c}$ を代入すると、$\frac{1}{2}(1-u)+3u=1$ より $u=\frac{1}{5}$ である。この点を $\mathrm{T}$ とすると、$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\frac{4}{5}\vec{b}+\frac{1}{5}\vec{c}$ となる。
- 直線 $\mathrm{CA}$ 上の点 $(1-v)\vec{c}+v\vec{a}$ を代入すると、$3(1-v)+\frac{3}{2}v=1$ より $v=\frac{4}{3}$ となり、辺 $\mathrm{CA}$ 上にはない。
- 直線 $\mathrm{OB}$ との交点は $\mathrm{Q}$ であり、辺 $\mathrm{OB}$ の外にある。

よって切り口は四角形 $\mathrm{PSTR}$ である。$\mathrm{O}$ を含む側の立体は、四面体 $\mathrm{OPQR}$ のうち平面 $\mathrm{ABC}$ に関して $\mathrm{O}$ と同じ側にある部分に一致する。

四面体 OPQR の体積
頂点 $\mathrm{O}$ を共有する四面体の体積比は、3 辺の長さの比の積になる。よって
$$V_{\mathrm{OPQR}}=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}\cdot \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OB}}\cdot \frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OC}}V=\frac{2}{3}\cdot 2\cdot \frac{1}{3}V=\frac{4}{9}V$$
である。

平面 ABC で切り取られる部分
平面 $\mathrm{ABC}$ は、四面体 $\mathrm{OPQR}$ の辺 $\mathrm{QO},\mathrm{QP},\mathrm{QR}$ とそれぞれ $\mathrm{B},\mathrm{S},\mathrm{T}$ で交わる。
- $\frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ より $\mathrm{PS}:\mathrm{SQ}=1:3$ なので、$\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{QP}}=\frac{3}{4}$ である。
- $\frac{3}{5}\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{5}\vec{c}+\frac{4}{5}\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OT}}$ より $\mathrm{RT}:\mathrm{TQ}=2:3$ なので、$\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{QR}}=\frac{3}{5}$ である。
- $\mathrm{B}$ は $\mathrm{OQ}$ の中点なので、$\frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{QO}}=\frac{1}{2}$ である。

切り取られる部分は四面体 $\mathrm{QBST}$ であり、その体積は
$$V_{\mathrm{QBST}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{9}V=\frac{1}{10}V$$
である。

結論
$\mathrm{O}$ を含む側の体積は
$$\frac{4}{9}V-\frac{1}{10}V=\frac{40-9}{90}V=\frac{31}{90}V$$
である。よって求める値は $\frac{31}{90}$ 倍である。

O を原点、$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とし、点 $x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ を座標 $(x,y,z)$ で表す。四面体 OABC は $x,y,z\ge 0,x+y+z\le 1$ で表され、その体積を 1 とする。

$\mathrm{P}=(2/3,0,0)$、$\mathrm{Q}=(0,2,0)$（OB を 2:1 に外分するので $\overrightarrow{OQ}=2\vec{b}$）、$\mathrm{R}=(0,0,1/3)$ である。

平面 PQR は $\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}y+3z=1$ となる。O はこの平面の原点側にある。A は $3/2>1$、C は $3>1$ で反対側にあり、B は $1/2<1$ で O と同じ側にある。

O を含む側の部分は、四面体 OPQR のうち $x+y+z\le 1$ を満たす部分である。

四面体 OPQR の体積は $\frac{2}{3}\cdot 2\cdot \frac{1}{3}=\frac{4}{9}$ である。

OPQR のうち $x+y+z>1$ となる部分は、頂点 Q の側の小さな四面体である。面 ABC（$x+y+z=1$）が辺 QO, QP, QR と交わる点までの、Q からの比を求める。
- QO 上では点 B で交わり、比は $1/2$。
- QP 上では $(2t/3,2-2t,0)$ で和が $2-\frac{4}{3}t=1$ より $t=3/4$。
- QR 上では $(0,2-2t,t/3)$ で和が $2-\frac{5}{3}t=1$ より $t=3/5$。

よって小四面体の体積は OPQR の $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{40}$ 倍で、$\frac{4}{9}\cdot \frac{9}{40}=\frac{1}{10}$ である。

したがって O を含む側の体積は $\frac{4}{9}-\frac{1}{10}=\frac{40-9}{90}=\frac{31}{90}$ 倍である。