電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中（誘電率 ${ϵ}_0$）に、2 枚の平面 $x=-d$ と $x=d$ ではさまれた、$y$ 方向と $z$ 方向に無限に広い板状の領域がある（$d>0$）。この領域の内部にだけ電荷が分布しており、その体積密度は
$$\rho (x)={\rho }_0\left(1-\frac{x^2}{d^2}\right)(-d\leqq x\leqq d)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。領域の外部 $|x|>d$ に電荷はない。原点を O、$x$ 軸上の $x=2d$ の点を P とする。

点 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ と点 P の電位 $V_{\mathrm{P}}$ の差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、${\rho }_0,d,{ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球の内部にだけ電荷が分布している。中心 O からの距離を $r$ とすると、電荷密度は
$$\rho (r)={\rho }_0\left(1-\frac{r}{a}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
であり、$r>a$ には電荷はない（${\rho }_0>0$ は定数）。球の内部も外部も誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。この電荷分布がもつ静電エネルギー $W$（電場のエネルギー $W=\frac{{\epsilon }_0}{2}\int |\mathbf{E}{|}^{2}dV$ を全空間で積分したもの）を、${\rho }_0$, $a$, ${\epsilon }_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球があり、その内部に全電荷 $Q$（$Q>0$）が一様に分布している。球の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。O からの距離を $r$ とすると、電場は O から放射状外向きで、その大きさは
$$E(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}& (0\leqq r\leqq a)\\ \frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}& (r\geqq a)\end{array}$$
である。

無限遠を電位の基準（電位 $0$）とするとき、中心 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ を $Q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。