線形代数の問題

難易度 3期末試験の応用レベル証明問題大学数学線形代数

$n$ を正の整数とし、 $E$ を $n$ 次単位行列とする。 $n$ 次実正方行列 $A$ が
$A^{2} - 3 A + 2 E = O$
を満たすとする（ $O$ は $n$ 次零行列）。このとき、ある $n$ 次実正則行列 $P$ が存在して、 $P^{- 1} A P$ が対角成分がすべて $1$ または $2$ である対角行列になることを証明せよ。

ただし、 $R^{n}$ の部分空間 $U, W$ について $dim (U + W) = dim U + dim W - dim (U \cap W)$ が成り立つことは用いてよい。

この問題で使うもの

ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）
核と像と次元定理（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）
対角化と行列の累乗（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

固有値 $1$ と $2$ の固有空間 $W_{1} = Ker (A - E)$ 、 $W_{2} = Ker (A - 2 E)$ を考え、それらの基底を合わせると $R^{n}$ の基底になることを示せばよい。

ヒント 2

$(A - E) - (A - 2 E) = E$ という等式を使うと、任意の $x$ を 2 つのベクトルの和に分けられる。 $(A - 2 E) (A - E) = O$ にも注目しよう。

ヒント 3

$x = - (A - 2 E) x + (A - E) x$ と分けると、 $(A - E) x \in W_{2}$ 、 $- (A - 2 E) x \in W_{1}$ となる。これで $R^{n} = W_{1} + W_{2}$ がわかる。次に $W_{1} \cap W_{2} = {0}$ と次元の公式を使う。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$(A - E) - (A - 2 E) = E$ などを使って任意の $x$ を $W_{1} = Ker (A - E)$ の元と $W_{2} = Ker (A - 2 E)$ の元の和に分解し、各成分が実際にその固有空間に属することを $(A - 2 E) (A - E) = O$ から確かめている（4 点）
$W_{1} \cap W_{2} = {0}$ を示し、次元の公式から $dim W_{1} + dim W_{2} = n$ を導いている（2 点）
$W_{1}, W_{2}$ の基底を合わせた $n$ 個のベクトルが $R^{n}$ の基底になること（張ることと個数から、または 1 次独立性を直接示して）を述べている（2 点）
それらを並べた行列 $P$ が正則で $A P = P D$ （ $D$ は対角成分が $1$ または $2$ の対角行列）となることを示し、 $P^{- 1} A P = D$ を結論している（2 点）

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模範解答を読む

$W_{1} = {x \in R^{n} ∣ A x = x} = Ker (A - E)$ 、 $W_{2} = {x \in R^{n} ∣ A x = 2 x} = Ker (A - 2 E)$ とおく。これらは線形写像の核なので $R^{n}$ の部分空間である。

方針. $R^{n} = W_{1} + W_{2}$ かつ $W_{1} \cap W_{2} = {0}$ を示し、 $W_{1}, W_{2}$ の基底を合わせて固有ベクトルからなる $R^{n}$ の基底を作る。

ステップ 1（ $R^{n} = W_{1} + W_{2}$ ）. 行列の等式
$(A - E) - (A - 2 E) = E$
に注意する。任意の $x \in R^{n}$ に対して
$y = (A - E) x, z = - (A - 2 E) x$
とおくと、上の等式から $y + z = E x = x$ である。さらに、 $A - E$ と $A - 2 E$ はどちらも $A$ と $E$ の多項式なので積の順序を交換でき、
$(A - 2 E) (A - E) = A^{2} - 3 A + 2 E = O$
である。よって
$(A - 2 E) y = (A - 2 E) (A - E) x = 0, (A - E) z = - (A - E) (A - 2 E) x = 0$
となり、 $y \in W_{2}$ 、 $z \in W_{1}$ である。したがって $x = z + y \in W_{1} + W_{2}$ であり、 $R^{n} = W_{1} + W_{2}$ である（ $W_{1} + W_{2} \subset R^{n}$ は部分空間の和なので成り立つ）。

ステップ 2（ $W_{1} \cap W_{2} = {0}$ ）. $x \in W_{1} \cap W_{2}$ とすると $A x = x$ かつ $A x = 2 x$ なので、 $x = 2 x$ 、すなわち $x = 0$ である。

ステップ 3（次元の和）. 用いてよい公式とステップ 1, 2 から
$n = dim R^{n} = dim (W_{1} + W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2} - dim (W_{1} \cap W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2}$
である。 $k = dim W_{1}$ とおくと $dim W_{2} = n - k$ である（ $0 \leq k \leq n$ ）。

ステップ 4（固有ベクトルからなる基底）. $W_{1}$ の基底 $p_{1}, \dots, p_{k}$ と $W_{2}$ の基底 $p_{k + 1}, \dots, p_{n}$ をとる（ $k = 0$ や $k = n$ のときは一方が空の組である）。これら $n$ 個のベクトルは $R^{n}$ を張る。実際、ステップ 1 より任意の $x$ は $z \in W_{1}$ と $y \in W_{2}$ の和で書け、 $z$ は $p_{1}, \dots, p_{k}$ の、 $y$ は $p_{k + 1}, \dots, p_{n}$ の 1 次結合で書けるからである。 $n$ 次元の空間 $R^{n}$ を張る $n$ 個のベクトルは 1 次独立なので、 $p_{1}, \dots, p_{n}$ は $R^{n}$ の基底である。

ステップ 5（対角化）. $P = (p_{1} p_{2} \dots p_{n})$ とおくと、 $P$ は列ベクトルが 1 次独立な $n$ 次実正方行列なので正則である。 $p_{i} \in W_{1}$ （ $i \leq k$ ）では $A p_{i} = p_{i}$ 、 $p_{i} \in W_{2}$ （ $i > k$ ）では $A p_{i} = 2 p_{i}$ なので
$A P = (A p_{1} \dots A p_{n}) = (p_{1} \dots p_{k} 2 p_{k + 1} \dots 2 p_{n}) = P D, D = diag (k 1, \dots, 1, n - k 2, \dots, 2)$
となる。左から $P^{- 1}$ を掛けて $P^{- 1} A P = D$ を得る。

結論. 実正則行列 $P$ によって $P^{- 1} A P$ は対角成分がすべて $1$ または $2$ の対角行列になる。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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