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線形代数の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル証明問題大学数学線形代数

$K$ を体、 $V$ を $K$ 上の有限次元線形空間とし、 $T : V \to V$ を線形写像とする。 $0$ 以上の整数 $k$ に対して $T^{k}$ を $T$ の $k$ 回の合成（ $T^{0}$ は $V$ の恒等写像）とし、
$d_{k} = dim Ker T^{k}$
とおく。このとき、すべての正の整数 $k$ に対して
$d_{k + 1} - d_{k} \leq d_{k} - d_{k - 1}$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、線形写像の次元定理（有限次元線形空間 $U$ からの線形写像 $φ$ について $dim U = dim Ker φ + dim Im φ$ ）と、有限次元線形空間 $W$ とその部分空間 $W^{'}$ について商空間 $W / W^{'}$ の次元が $dim W - dim W^{'}$ であることは用いてよい。

この問題で使うもの

核と像と次元定理（説明と入口の問題）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（37 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$d_{k + 1} - d_{k}$ と $d_{k} - d_{k - 1}$ を、それぞれ $Ker T^{k + 1} / Ker T^{k}$ と $Ker T^{k} / Ker T^{k - 1}$ の次元とみて、前者から後者への「単射に近い」線形写像を作ることを考えよう。

ヒント 2

$T$ は $Ker T^{k + 1}$ の元を $Ker T^{k}$ の元に移す。そこで $v \mapsto [T v] \in Ker T^{k} / Ker T^{k - 1}$ という写像を考える。

ヒント 3

まず $Ker T^{k - 1} \subset Ker T^{k} \subset Ker T^{k + 1}$ を確かめ、上の写像が定義できて線形であることを示す。次にその核が $Ker T^{k}$ になることを、 $[T v] = 0 ⟺ T^{k} v = 0$ から導く。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$Ker T^{j} \subset Ker T^{j + 1}$ を示し、 $Ker T^{k - 1} \subset Ker T^{k} \subset Ker T^{k + 1}$ の包含関係を確認している（2 点）
$Ker T^{k + 1}$ から $Ker T^{k} / Ker T^{k - 1}$ への写像 $v \mapsto [T v]$ （またはこれと同等の写像）を定め、 $T v \in Ker T^{k}$ となることから定義できることと線形性を示している（3 点）
その写像の核が $Ker T^{k}$ であることを、 $[T v] = 0 ⟺ T^{k} v = 0$ の同値変形と包含関係から示している（2 点）
次元定理から像の次元が $d_{k + 1} - d_{k}$ であること、像が商空間の部分空間なのでその次元が $d_{k} - d_{k - 1}$ 以下であることを述べ、不等式を結論している（3 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$N_{j} = Ker T^{j}$ （ $j \geq 0$ ）とおく。各 $N_{j}$ は線形写像 $T^{j}$ の核なので $V$ の部分空間であり、 $V$ が有限次元なので有限次元である。正の整数 $k$ を任意に 1 つ固定する。

ステップ 1（核の増大列）. 任意の $j \geq 0$ について $N_{j} \subset N_{j + 1}$ である。実際、 $v \in N_{j}$ ならば $T^{j} v = 0$ なので、 $T^{j + 1} v = T (T^{j} v) = T (0) = 0$ （ $T$ は線形なので $T (0) = 0$ ）となり、 $v \in N_{j + 1}$ である。とくに $N_{k - 1} \subset N_{k} \subset N_{k + 1}$ であり、 $N_{k - 1}$ は $N_{k}$ の部分空間、 $N_{k}$ は $N_{k + 1}$ の部分空間である。

ステップ 2（写像の構成）. 商空間 $N_{k} / N_{k - 1}$ を考え、 $v \in N_{k}$ の属する剰余類を $[v]$ と書く。写像
$φ : N_{k + 1} \to N_{k} / N_{k - 1}, φ (v) = [T v]$
を定める。

- 定義できること. $v \in N_{k + 1}$ のとき $T^{k} (T v) = T^{k + 1} v = 0$ なので $T v \in N_{k}$ であり、 $[T v]$ は $N_{k} / N_{k - 1}$ の元として意味をもつ。
- 線形であること. $v, w \in N_{k + 1}$ 、 $a, b \in K$ に対して、 $T$ の線形性と、剰余類をとる写像 $N_{k} \to N_{k} / N_{k - 1}$ の線形性から
$φ (a v + b w) = [a T v + b T w] = a [T v] + b [T w] = a φ (v) + b φ (w)$
である。

ステップ 3（核の決定）. $Ker φ = N_{k}$ を示す。 $v \in N_{k + 1}$ について
$φ (v) = 0 ⟺ [T v] = 0 ⟺ T v \in N_{k - 1} ⟺ T^{k - 1} (T v) = 0 ⟺ T^{k} v = 0 ⟺ v \in N_{k}$
である（2 つ目の同値は商空間の零元が $N_{k - 1}$ の剰余類であることによる）。よって $Ker φ = N_{k + 1} \cap N_{k}$ であり、ステップ 1 より $N_{k} \subset N_{k + 1}$ なので $Ker φ = N_{k}$ である。

ステップ 4（次元の比較）. $φ$ に次元定理を用いると（ $N_{k + 1}$ は有限次元）
$dim N_{k + 1} = dim Ker φ + dim Im φ = dim N_{k} + dim Im φ$
なので、 $dim Im φ = d_{k + 1} - d_{k}$ である。一方、 $Im φ$ は $N_{k} / N_{k - 1}$ の部分空間なので、その次元は $N_{k} / N_{k - 1}$ の次元以下であり、商空間の次元の公式から
$dim Im φ \leq dim (N_{k} / N_{k - 1}) = dim N_{k} - dim N_{k - 1} = d_{k} - d_{k - 1}$
である。2 つを合わせて
$d_{k + 1} - d_{k} \leq d_{k} - d_{k - 1}$
を得る。

結論. $k$ は任意の正の整数だったので、すべての正の整数 $k$ に対して $d_{k + 1} - d_{k} \leq d_{k} - d_{k - 1}$ が成り立つ。 $■$

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