線形代数の問題

以下、$\Delta =\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$ とおき、示すべき行列式を $D=\det A$ とおく。

方針. 変数 $t$ を 1 つ加えた $n+1$ 次のヴァンデルモンド行列式を、$t$ の多項式として 2 通りに表し、$t^{n-1}$ の係数を比べる。

ステップ 1（補助の行列式を積で表す）. 複素数 $t$ に対して、$n+1$ 次正方行列 $B(t)$ を、第 $i$ 行（$1\le i\le n$）が $(1,x_i,x_i^2,\dots ,x_i^n)$、第 $n+1$ 行が $(1,t,t^2,\dots ,t^n)$ であるものとする。これは $y_1=x_1,\dots ,y_n=x_n,y_{n+1}=t$ としたときの $m=n+1$ 次のヴァンデルモンド行列なので、用いてよい公式から
$$\det B(t)=\prod _{1\le i<j\le n+1}(y_j-y_i)=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\cdot \prod _{i=1}^n(t-x_i)=\Delta \prod _{i=1}^n(t-x_i)$$
となる（$j=n+1$ の因子をまとめて ${\prod }_{i=1}^n(y_{n+1}-y_i)={\prod }_{i=1}^n(t-x_i)$ とした）。

$\prod _{i=1}^n(t-x_i)$ を展開すると、$t^n$ の係数は $1$、$t^{n-1}$ の係数は $-(x_1+x_2+\cdots +x_n)$ である（$t^{n-1}$ の項は、$n$ 個の因子のうち 1 つから $-x_i$ を、残りから $t$ を選んで得られるから）。したがって、$\det B(t)$ は $t$ の多項式であり、その $t^{n-1}$ の係数は
$$-(x_1+x_2+\cdots +x_n)\Delta (1)$$
である。

ステップ 2（第 $n+1$ 行に関する余因子展開）. $\det B(t)$ を第 $n+1$ 行について余因子展開する。第 $n+1$ 行の $(n+1,k+1)$ 成分は $t^k$（$k=0,1,\dots ,n$）である。$B(t)$ から第 $n+1$ 行と第 $k+1$ 列を取り除いた $n$ 次の小行列の行列式を $M_k$ とおくと、$M_k$ は $x_1,\dots ,x_n$ だけで決まり $t$ を含まない（取り除いたのが $t$ を含む唯一の行だから）。よって
$$\det B(t)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{(n+1)+(k+1)}{t}^k{M}_k=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n+k}{M}_k{t}^k$$
であり、これは $t$ の多項式としての表示で、$t^{n-1}$ の係数は $k=n-1$ の項から
$$(-1{)}^{n+(n-1)}{M}_{n-1}=(-1{)}^{2n-1}{M}_{n-1}=-M_{n-1}(2)$$
となる。

ここで $M_{n-1}$ は、$B(t)$ から第 $n+1$ 行と第 $n$ 列（$x_i^{n-1}$ の列）を取り除いた行列の行列式である。残る行は第 $1$ 行から第 $n$ 行、残る列は $x_i^0,x_i^1,\dots ,x_i^{n-2},x_i^n$ の列がこの順に並んだものなので、この小行列はちょうど $A$ に等しい。よって $M_{n-1}=D$ である。

ステップ 3（係数の比較）. ステップ 1 とステップ 2 で、同じ $\det B(t)$ を $t$ の多項式として 2 通りに表した。2 つの多項式がすべての複素数 $t$ で値が等しいとき、その差は無限個の根をもつので零多項式であり、各次数の係数は等しい。$t^{n-1}$ の係数 $(1)$ と $(2)$ を比べると
$$-D=-(x_1+x_2+\cdots +x_n)\Delta$$
である。

結論. 以上より
$$\det A=(x_1+x_2+\cdots +x_n)\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$
が成り立つ。（確認として $n=2$ のとき、$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& x_1^2\\ 1& x_2^2\end{array}\right|=x_2^2-x_1^2=(x_1+x_2)(x_2-x_1)$ となり一致する。）$■$