線形代数の問題

難易度 3期末試験の応用レベル証明問題大学数学線形代数

$n$ を正の整数とし、 $R^{n}$ には標準内積 $(x, y) = x^{T} y$ を考える。 $n$ 次実正方行列 $A$ が次の 2 つの条件を満たすとする。
$(1) A^{2} = A (2) tr (A^{T} A) = rank A$
このとき、 $A$ は対称行列である（すなわち $A^{T} = A$ である）ことを証明せよ。

ただし、 $R^{n}$ の部分空間の正規直交基底を $R^{n}$ 全体の正規直交基底に延長できること（グラム・シュミットの直交化法）、 $rank A$ が像 $Im A = {A x ∣ x \in R^{n}}$ の次元に等しいこと、トレースの性質 $tr (X Y) = tr (Y X)$ は用いてよい。

この問題で使うもの

内積空間とグラム・シュミットの直交化（説明と入口の問題）
直交射影と最小二乗法（説明と入口の問題）
基底の変換と表現行列（説明と入口の問題）
行列の和・積と 2 次の逆行列（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$Im A$ の正規直交基底を $R^{n}$ 全体の正規直交基底に延長し、それを並べた直交行列 $Q$ で $C = Q^{T} A Q$ を作って、 $C$ の形を調べる。

ヒント 2

$u \in Im A$ なら $A^{2} = A$ から $A u = u$ である。また $tr (X^{T} X)$ は $X$ の全成分の 2 乗和であり、 $tr (C^{T} C) = tr (A^{T} A)$ が成り立つ。

ヒント 3

$r = rank A$ とすると、 $C$ の第 $1$ 〜 $r$ 列は単位行列の列と同じで、第 $r + 1$ 〜 $n$ 行はすべて $0$ になる。残りの右上の部分の成分について $tr (C^{T} C)$ を計算し、条件 $(2)$ と比べる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$Im A$ の正規直交基底を $R^{n}$ の正規直交基底に延長し、直交行列 $Q$ による $C = Q^{T} A Q$ （または同等の基底変換）を考えている（2 点）
$A^{2} = A$ から $Im A$ の元 $u$ について $A u = u$ を示し、 $C$ の第 $1$ 〜 $r$ 列が単位行列の列に一致することを導いている（2 点）
$A$ の像が $Im A$ に入ることから、 $C$ の第 $r + 1$ 行以降がすべて $0$ であることを示している（2 点）
$tr (C^{T} C) = tr (A^{T} A)$ と、それが成分の 2 乗和 $r + \sum_{k \leq r < j} c_{k j}^{2}$ に等しいことを示し、条件 $(2)$ から右上の成分がすべて $0$ と結論している（3 点）
$C$ が対称（対角）であることと $A = QC Q^{T}$ から $A^{T} = A$ を結論している（1 点）

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模範解答を読む

方針. $Im A$ に合わせた正規直交基底をとって $A$ を直交行列で変換し、変換後の行列の成分を調べる。 $tr (X^{T} X)$ が $X$ の全成分の 2 乗和であることを使うと、条件 $(2)$ から「余分な成分」がすべて $0$ であることがわかる。

準備（ $tr (X^{T} X)$ は成分の 2 乗和）. $n$ 次実正方行列 $X = (x_{k j})$ に対して、 $X^{T} X$ の $(j, j)$ 成分は $\sum_{k = 1}^{n} x_{k j}^{2}$ なので
$tr (X^{T} X) = j = 1 \sum n k = 1 \sum n x_{k j}^{2}$
である。

ステップ 1（正規直交基底のとり方）. $r = rank A$ とおくと、 $W = Im A$ は $r$ 次元の部分空間である。 $W$ の正規直交基底 $q_{1}, \dots, q_{r}$ をとり（ $r = 0$ のときは何もとらない）、これを $R^{n}$ の正規直交基底 $q_{1}, \dots, q_{n}$ に延長する。 $Q = (q_{1} \dots q_{n})$ とおくと $Q$ は直交行列で、 $Q^{T} Q = Q Q^{T} = E$ （単位行列）である。さらに $C = Q^{T} A Q$ とおき、その $(k, j)$ 成分を $c_{k j}$ とすると
$c_{k j} = q_{k}^{T} A q_{j} = (q_{k}, A q_{j})$
である。

ステップ 2（ $C$ の成分）.

$j \leq r$ のとき。 $q_{j} \in W$ なので、ある $x \in R^{n}$ により $q_{j} = A x$ と書ける。条件 $(1)$ より $A q_{j} = A^{2} x = A x = q_{j}$ である。よって $c_{k j} = (q_{k}, q_{j})$ であり、正規直交性から $c_{j j} = 1$ 、 $k \neq = j$ のとき $c_{k j} = 0$ である。
$k > r$ のとき。任意の $j$ について $A q_{j} \in W$ であり、 $W$ は $q_{1}, \dots, q_{r}$ で張られる。 $q_{k}$ （ $k > r$ ）は $q_{1}, \dots, q_{r}$ のどれとも直交するので $W$ のすべての元と直交し、 $c_{k j} = (q_{k}, A q_{j}) = 0$ である。

したがって、 $0$ とは限らない成分は「 $k \leq r < j$ 」の位置の $c_{k j}$ だけで、それ以外では $C$ の成分は $c_{j j} = 1$ （ $j \leq r$ ）か $0$ である。

ステップ 3（条件 $(2)$ の言いかえ）. $Q^{T} Q = E$ とトレースの性質 $tr (X Y) = tr (Y X)$ より
$tr (C^{T} C) = tr (Q^{T} A^{T} Q Q^{T} A Q) = tr (Q^{T} A^{T} A Q) = tr (A^{T} A Q Q^{T}) = tr (A^{T} A)$
である。一方、準備とステップ 2 より
$tr (C^{T} C) = j = 1 \sum r 1^{2} + k \leq r < j \sum c_{k j}^{2} = r + k \leq r < j \sum c_{k j}^{2}$
である。条件 $(2)$ より $tr (A^{T} A) = r$ なので
$k \leq r < j \sum c_{k j}^{2} = 0$
となる。各項は $0$ 以上の実数なので、 $k \leq r < j$ を満たすすべての $k, j$ について $c_{k j} = 0$ である（ $r = 0$ や $r = n$ のときは、この和は項をもたず、この結論は自動的に成り立つ）。

ステップ 4（結論）. ステップ 2・3 より、 $C$ は対角成分の最初の $r$ 個が $1$ 、残りの成分がすべて $0$ の対角行列であり、特に $C^{T} = C$ である。 $Q$ は直交行列なので $A = QC Q^{T}$ であり、
$A^{T} = (QC Q^{T})^{T} = Q C^{T} Q^{T} = QC Q^{T} = A$
を得る。よって $A$ は対称行列である。 $■$

（補足: 上の計算から、条件 $(2)$ がなくても $A^{2} = A$ ならば $tr (A^{T} A) \geq rank A$ が成り立ち、等号は $A$ が対称のとき、つまり $A$ が $Im A$ への直交射影の表現行列のときに限ることがわかる。）

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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