線形代数の問題

固有値
$$\det (A-\lambda E)=(5-\lambda )(-2-\lambda )+12={\lambda }^2-3\lambda +2=(\lambda -1)(\lambda -2)$$
よって固有値は $1,2$。

固有ベクトル
- $\lambda =1$: $A-E=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 6& -3\end{array}\right)$ より $2x=y$。${\mathbf{p}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$。
- $\lambda =2$: $A-2E=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{array}\right)$ より $3x=2y$。${\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$。

$\mathbf{x}$ の分解　$\mathbf{x}=s{\mathbf{p}}_1+t{\mathbf{p}}_2$ とおくと $s+2t=1,2s+3t=1$。第 1 式の 2 倍から第 2 式を引いて $t=1$、$s=-1$。よって $\mathbf{x}=-{\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2$。

累乗　$A^n{\mathbf{p}}_1={\mathbf{p}}_1,A^n{\mathbf{p}}_2=2^n{\mathbf{p}}_2$ より
$$A^n\mathbf{x}=-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+2^n\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2}^{n+1}-1\\ 3\cdot 2^n-2\end{array}\right)$$
したがって第 2 成分は $3\cdot 2^n-2$。

（確認）$A\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$ で、$n=1$ のとき $3\cdot 2-2=4$ と一致する。

$A$ の固有多項式は ${\lambda }^2-3\lambda +2=(\lambda -1)(\lambda -2)$ で、固有値は $1,2$。

$\lambda =1$: $(A-I)\mathbf{v}=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 6& -3\end{array}\right)\mathbf{v}=0$ より ${\mathbf{v}}_1=(1,2{)}^T$。
$\lambda =2$: $(A-2I)\mathbf{v}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{array}\right)\mathbf{v}=0$ より ${\mathbf{v}}_2=(2,3{)}^T$。

$\mathbf{x}=\alpha {\mathbf{v}}_1+\beta {\mathbf{v}}_2$ とおくと $\alpha +2\beta =1,2\alpha +3\beta =1$ より $\beta =1,\alpha =-1$。

よって $A^n\mathbf{x}=-{\mathbf{v}}_1+2^n{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-1+2^{n+1}\\ -2+3\cdot 2^n\end{array}\right)$。第 2 成分は $3\cdot 2^n-2$。

検算: $n=1$: $A\mathbf{x}=(3,4{)}^T$、式は $6-2=4$。$n=2$: $A(3,4{)}^T=(7,10{)}^T$、式は $12-2=10$。一致。