線形代数の問題

${\mathbf{v}}_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)$ とおくと、漸化式は ${\mathbf{v}}_{n+1}=A{\mathbf{v}}_n$、
$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 3\end{array}\right)$$
と書けるので、${\mathbf{v}}_n=A^n{\mathbf{v}}_0$ である。

固有値　固有多項式を第 1 行で展開すると
$$\det (A-\lambda E)=(3-\lambda )\{(2-\lambda )(3-\lambda )-1\}-(3-\lambda )=(3-\lambda )({\lambda }^2-5\lambda +4)=(3-\lambda )(\lambda -1)(\lambda -4)$$
よって固有値は $1,3,4$ である。

固有ベクトル
- $\lambda =4$: $A-4E=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& -2& 1\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$ より $x=y=z$。${\mathbf{p}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$。
- $\lambda =3$: $A-3E=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ より $y=0,x=-z$。${\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$。
- $\lambda =1$: $A-E=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$ より $y=-2x,z=x$。${\mathbf{p}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$。

初期値の分解　${\mathbf{v}}_0=c_1{\mathbf{p}}_1+c_2{\mathbf{p}}_2+c_3{\mathbf{p}}_3$ とおくと
$$c_1+c_2+c_3=2,c_1-2c_3=1,c_1-c_2+c_3=0$$
第 1 式と第 3 式の差から $2c_2=2$ より $c_2=1$。すると $c_1+c_3=1$ と $c_1-2c_3=1$ から $c_3=0,c_1=1$。よって ${\mathbf{v}}_0={\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2$。

累乗　$A^n{\mathbf{p}}_1=4^n{\mathbf{p}}_1,A^n{\mathbf{p}}_2=3^n{\mathbf{p}}_2$ だから
$${\mathbf{v}}_n=4^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+3^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$$
その第 3 成分をとって $z_n=4^n-3^n$。

（確認）$x_1=7,y_1=4,z_1=1$、$z_2=y_1+3z_1=7$ であり、$4-3=1,16-9=7$ と一致する。$n=0$ でも $1-1=0=z_0$。

$v_n=(x_n,y_n,z_n{)}^T$ とおくと $v_{n+1}=M{v}_n$、$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 3\end{array}\right)$、$v_0=(2,1,0{)}^T$。

$M$ は対称行列。固有ベクトルを求める。
- $(1,1,1{)}^T$: $M(1,1,1{)}^T=(4,4,4{)}^T$ より固有値 $4$。
- $(1,-2,1{)}^T$: $M(1,-2,1{)}^T=(1,-2,1{)}^T$ より固有値 $1$。
- $(1,0,-1{)}^T$: $M(1,0,-1{)}^T=(3,0,-3{)}^T$ より固有値 $3$。

これらは互いに直交するので、$v_0$ の展開係数は内積で求まる。
$\alpha =\frac{2+1+0}{3}=1$、$\beta =\frac{2-2+0}{6}=0$、$\gamma =\frac{2+0-0}{2}=1$。
確かめ: $(1,1,1)+(1,0,-1)=(2,1,0)=v_0$。

よって $v_n=4^n(1,1,1{)}^T+3^n(1,0,-1{)}^T$ で、$z_n=4^n-3^n$。

検算: $v_1=(7,4,1)$ なので $z_1=1=4-3$。$v_2=(25,16,7)$ なので $z_2=7=16-9$。$z_0=0$ も成立。