線形代数の問題

固有多項式　$A$ は $2\times 2$ ブロックに分けると
$$A=\left(\begin{array}{cc}B& O\\ C& 2E_2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$
というブロック下三角行列である。$\det (xE-B)=(x-3)(x-1)+1=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ だから
$$\det (xE-A)=(x-2{)}^2\cdot (x-2{)}^2=(x-2{)}^4$$
よって最小多項式は $(x-2{)}^k$（$1\le k\le 4$）の形である。

$N=A-2E$ の累乗
$$N=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ -1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)\ne O$$
$N^2$ の第 $i$ 行は ${\sum }_k{n}_{ik}(N\text{ の第 }k\text{ 行})$ である。
- 第 1 行: $(N\text{ の第 1 行})+(N\text{ の第 2 行})=(0,0,0,0)$
- 第 2 行: $-(\text{第 1 行})-(\text{第 2 行})=(0,0,0,0)$
- 第 3 行: $(0,0,0,0)$
- 第 4 行: $(N\text{ の第 1 行})=(1,1,0,0)$

よって
$$N^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\end{array}\right)\ne O$$
$N^3=N^{2}N$ の第 4 行は $(N\text{ の第 1 行})+(N\text{ の第 2 行})=(0,0,0,0)$ で、他の行も $0$ だから $N^3=O$。

したがって $(A-2E{)}^2\ne O,(A-2E{)}^3=O$ であり、最小多項式は
$${\phi }_A(x)=(x-2{)}^3$$
（参考: $\mathrm{rank}N=2,\mathrm{rank}{N}^2=1$ より、ジョルダン標準形はサイズ $3$ と $1$ の固有値 $2$ のジョルダン細胞からなる。）

$A$ は下三角に近い形で、特性多項式は左上の $2\times 2$ ブロック $B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$（$\mathrm{tr}B=4,\det B=4$ より $(x-2{)}^2$）と、残りの対角成分 $2,2$ から $(x-2{)}^4$。よって固有値は $2$ のみ。

$N=A-2E=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ -1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$ とおく。
$N^2$ の各行: 第 1 行 $=r_1+r_2=0$、第 2 行 $=-r_1-r_2=0$、第 3 行 $=0$、第 4 行 $=r_1=(1,1,0,0)$。よって $N^2\ne O$。
$N^3$: 第 4 行 $=(1,1,0,0)N=r_1+r_2=0$ なので $N^3=O$。

したがって最小多項式は $(x-2{)}^3=x^3-6x^2+12x-8$。

検算: $\mathrm{rank}N=2$ なのでジョルダン細胞は $4-2=2$ 個で、サイズは $3$ と $1$。最大サイズ $3$ が最小多項式の重複度と一致する。