線形代数の問題

$A$ は $2\times 2$ ブロックに分けると
$$A=\left(\begin{array}{cc}B& O\\ C& D\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -4& -1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$
というブロック下三角行列である。

固有多項式 ブロック三角行列なので $\det (xE-A)=\det (xE-B)\det (xE-D)$。
- $\det (xE-B)=(x-3)(x+1)+4=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$
- $\det (xE-D)=(x-2{)}^2-1=(x-1)(x-3)$

よって固有多項式は $(x-1{)}^3(x-3)$。固有値は $1$（重複度 $3$）と $3$（重複度 $1$）である。

固有値 $1$ のジョルダン細胞
$$A-E=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ -4& -2& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$$
の階数を調べる。第 2 行は第 1 行の $-2$ 倍なので除いてよい。残りの第 1・3・4 行について、第 3 行から第 4 行を引くと $(1,0,0,0)$、これと第 1 行 $(2,1,0,0)$、第 4 行 $(0,0,1,1)$ は明らかに 1 次独立である。よって $\mathrm{rank}(A-E)=3$。

したがって固有値 $1$ の固有空間の次元は $4-3=1$ であり、固有値 $1$ のジョルダン細胞は $1$ 個しかない。代数的重複度が $3$ なので、そのサイズは $3$ である。固有値 $3$ は単根なのでサイズ $1$ のジョルダン細胞 $1$ 個。

よって $A$ のジョルダン標準形は $J_3(1)\oplus J_1(3)$ であり、最小多項式は各固有値について最大のジョルダン細胞のサイズを指数にとった
$$(x-1{)}^3(x-3)$$
である。

（注）$C=O$ であれば $A$ は $B\oplus D$ と同じで、最小多項式は $(x-1{)}^2(x-3)$ になる。$C$ の成分によって固有値 $1$ の 2 つのブロック $B$, $D$ がつながり、サイズ $3$ のジョルダン細胞ができている点がポイントである。

$A$ はブロック下三角で、$B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -4& -1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ として固有多項式は $\det (xI-B)\det (xI-C)$。
$\det (xI-B)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$、$\det (xI-C)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$。
よって ${\chi }_A(x)=(x-1{)}^3(x-3)$。

最小多項式は $(x-1{)}^k(x-3)$ ($1\le k\le 3$) の形で、$k$ は固有値 $1$ のジョルダンブロックの最大サイズ。
$A-I=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ -4& -2& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)$ のランクを調べる。第 2 行は第 1 行の $-2$ 倍。第 1 行 $(2,1,0,0)$、第 3 行 $-$ 第 4 行 $=(1,0,0,0)$、第 4 行 $(0,0,1,1)$ は一次独立なのでランクは $3$、$\dim \ker (A-I)=1$。
固有値 $1$ の代数的重複度が $3$ で幾何的重複度が $1$ なので、ブロックは大きさ $3$ の 1 個のみ。ゆえに $k=3$。

最小多項式は $(x-1{)}^3(x-3)=x^4-6x^3+12x^2-10x+3$。

検算: $x^4-6x^3+12x^2-10x+3$ の係数の和は $1-6+12-10+3=0$（$x=1$ が根）で、$x=3$: $81-162+108-30+3=0$。