線形代数の問題

手順 1：もとの基底での表現行列 $A$ を求める。

$f(1)=1+2\cdot 0=1$、$f(x)=x+2\cdot 1=2+x$ である。これらを基底 $\{1,x\}$ の座標で表すと $f(1)$ は $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$、$f(x)$ は $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ なので、これらを列に並べて
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right).$$

手順 2：基底の取りかえ行列 $P$ を求める。

新しい基底の各ベクトルを古い基底 $\{1,x\}$ の座標で表し、列に並べる。$1+x$ の座標は $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$、$1-x$ の座標は $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ なので
$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$
$\det P=1\cdot (-1)-1\cdot 1=-2\ne 0$ より $P$ は正則で
$$P^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

手順 3：$B=P^{-1}AP$ を計算する。

$$AP=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& -1\end{array}\right),$$
$$B=P^{-1}(AP)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

確かめ： $f(1+x)=(1+x)+2=3+x=2(1+x)+1\cdot (1-x)$、$f(1-x)=(1-x)-2=-1-x=-1\cdot (1+x)+0\cdot (1-x)$ となり、$B$ の第 1 列 $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$、第 2 列 $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$ と一致する。

よって $(1,2)$ 成分は $-1$、$(2,1)$ 成分は $1$ であり、答えは $(-1,1)$。

$f(1)=1$、$f(x)=x+2$ なので、基底 $\{1,x\}$ に関する表現行列は $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$。
基底の取りかえ行列は $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ で、$P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。
$AP=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$ より、$B=P^{-1}AP=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$。
検算: $f(1+x)=3+x=2(1+x)+1(1-x)$ なので第1列は $(2,1{)}^T$。$f(1-x)=-1-x=-1(1+x)+0(1-x)$ なので第2列は $(-1,0{)}^T$。これは $B$ と一致する。
よって $(1,2)$ 成分は $-1$、$(2,1)$ 成分は $1$。