線形代数の問題

手順 1：特性多項式を求める。

$A$ の特性多項式は
$$\det (xE-A)=\left|\begin{array}{cc}x-1& -2\\ 1& x-4\end{array}\right|=(x-1)(x-4)+2=x^2-5x+6$$
である。2 次正方行列 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ では、特性多項式は $x^2-(a+d)x+(ad-bc)$ になる。$A$ では $a+d=5$、$ad-bc=4-(-2)=6$ なので、この結果と一致する。

手順 2：ケーリー・ハミルトンの定理を使う。

ケーリー・ハミルトンの定理より、特性多項式に $A$ を代入すると零行列になる。
$$A^2-5A+6E=O\text{すなわち}{A}^2=5A-6E$$
（確認：$A^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 10\\ -5& 14\end{array}\right)$、$5A-6E=\left(\begin{array}{cc}-1& 10\\ -5& 14\end{array}\right)$ となり一致する。）

手順 3：次数を下げる。

$A^2$ が現れるたびに $5A-6E$ で置き換える。
$$A^3=A\cdot A^2=5A^2-6A=5(5A-6E)-6A=19A-30E$$
$$A^4=A\cdot A^3=19A^2-30A=19(5A-6E)-30A=95A-114E-30A=65A-114E$$

手順 4：$p,q$ がただ 1 組であることを確かめる。

$A$ は $E$ の実数倍ではないので、$A$ と $E$ は一次独立である。したがって $A^4=pA+qE$ を満たす $p,q$ はただ 1 組に決まり、
$$p=65,q=-114$$
である。

別の確かめ方。

$x^4$ を $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ で割った余りを $px+q$ とすると、次の 2 式が成り立つ。
- $x=2$ を代入して $16=2p+q$
- $x=3$ を代入して $81=3p+q$

これを解くと $p=65,q=-114$ となり、上の結果と一致する。

よって $(p,q)=(65,-114)$ である。

$A$ の跡は $1+4=5$、行列式は $1\cdot 4-2\cdot (-1)=6$ である。ケーリー・ハミルトンの定理より $A^2=5A-6E$ が成り立つ。

$A^3=A\cdot A^2=5A^2-6A=5(5A-6E)-6A=19A-30E$

$A^4=A\cdot A^3=19A^2-30A=19(5A-6E)-30A=65A-114E$

検算：$A^2=\left(\begin{array}{cc}1-2& 2+8\\ -1-4& -2+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 10\\ -5& 14\end{array}\right)$。これは $5A-6E=\left(\begin{array}{cc}-1& 10\\ -5& 14\end{array}\right)$ と一致する。

$A^4=(A^2{)}^2$ の (1,1) 成分は $1-50=-49$、(1,2) 成分は $-10+140=130$ である。一方 $65A-114E$ の (1,1) 成分は $65-114=-49$、(1,2) 成分は $130$ で、どちらも一致する。

よって $(p,q)=(65,-114)$。