周波数応答のゲインと位相

$s = j ω$ を代入して $∣ L (j ω) ∣$ と $ar g L (j ω)$ を因子ごとの和として求め、位相を連続的に追跡できる

前提

伝達関数と極・零点（大学院数学制御理論）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
伝達関数と極・零点（大学院数学制御理論）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）

説明

伝達関数 $L (s)$ に $s = j ω$ （制御では虚数単位 $i$ を $j$ と書く）を代入した複素数 $L (j ω)$ の絶対値 $∣ L (j ω) ∣$ をゲイン、偏角 $ar g L (j ω)$ を位相と呼びます。系が安定なら、正弦波 $sin ω t$ を入れて十分時間がたった後の出力は同じ角周波数の正弦波になり、その振幅の倍率と位相のずれがこのゲインと位相で与えられます。ただしゲイン・位相の計算そのものは、 $L (s)$ の式だけで決まる関数 $L (j ω)$ についての計算なので、原点に極をもつ開ループ伝達関数のように安定でない $L (s)$ にもそのまま使えます（安定性が必要なのは定常応答として解釈するときだけです）。この技能では、 $L (s)$ を 1 次・2 次の因子の積と商に分け、極形式の性質を使ってゲインを因子の絶対値の積・商、位相を因子の偏角の和・差として求め、さらに位相を $ω$ について連続な関数として追跡して、ボード線図やナイキスト線図での安定判別に使える形にします。

なぜそうしてよいのか

因子ごとに分けてよい理由. 複素数を極形式で表すと、積では絶対値が掛け算、偏角が足し算になり、商では絶対値が割り算、偏角が引き算になります。 $L (s) = K \frac{( s - z _{1} ) \dots ( s - z _{m} )}{( s - p _{1} ) \dots ( s - p _{n} )}$ に $s = j ω$ を代入すると
$∣ L (j ω) ∣ = ∣ K ∣ \frac{\prod _{k} ∣ j ω - z _{k} ∣}{\prod _{k} ∣ j ω - p _{k} ∣}, ar g L (j ω) = ar g K + k \sum ar g (j ω - z_{k}) - k \sum ar g (j ω - p_{k})$
となります（右辺の偏角の式は $2 π$ の整数倍の違いを除いて成り立ちます）。各因子 $j ω - z$ は、複素平面上で点 $z$ から虚軸上の点 $j ω$ へ向かうベクトルなので、その長さと向きは図から直接読めます。例えば $j ω + a$ （ $a > 0$ ）は長さ $ω^{2} + a^{2}$ 、偏角 $arctan \frac{ω}{a}$ です。

位相を連続に追跡する理由. 偏角は $2 π$ の整数倍の違いを除いてしか決まらず、定常応答の正弦波を観測しても、位相差は $2 π$ の整数倍を除いてしかわかりません。そこで、 $ω$ を動かしたときに値が跳ばないように偏角をつないでいく、という約束をします。各因子 $j ω - z$ は、 $z$ が虚軸上にない限り $ω$ を動かしても $0$ にならないので、その偏角は $ω$ について連続に選べます。各因子の偏角を連続に選んで足せば、 $ar g L (j ω)$ も連続な関数になり、 $- π$ を越えて $- \frac{3 π}{2}$ などの値もとります。こうしてつないだ位相を使うと、ボード線図やナイキスト線図で位相が $- π$ を横切るかどうか（安定余裕の判定に使う）を、見かけの跳びに惑わされずに判定できます。もし最後に $(- π, π]$ に直してしまうと、 $- π$ のところで $+ π$ へ跳ぶ見かけの不連続が生じ、横切りを見落とします。

原点の極・零点. $s = 0$ の因子 $j ω$ は $ω > 0$ で常に偏角 $\frac{π}{2}$ です。分母に $s$ があれば位相は $- \frac{π}{2}$ から始まります。この因子は $ω = 0$ で $0$ になるので、 $ω > 0$ の範囲で考え、ふつうは $ω \to + 0$ での値を基準にそこから連続に追跡します。

手順

$L (s)$ の分子・分母を因数分解し、定数 $K$ と、 $s$ 、 $s + a$ 、 $s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}$ などの因子の積・商の形に書く。
$s = j ω$ を代入し、各因子の絶対値を求める。例: $∣ j ω + a ∣ = ω^{2} + a^{2}$ , $∣ j ω ∣ = ω$ （ $ω > 0$ ）。
各因子の偏角を、点の位置（実部・虚部の符号）を見ながら $ω$ の連続関数として求める。例: $a > 0$ なら $ar g (j ω + a) = arctan \frac{ω}{a}$ 、 $ar g (j ω - a) = π - arctan \frac{ω}{a}$ 、 $ar g (j ω) = \frac{π}{2}$ 、 $K < 0$ なら $ar g K = - π$ （または $π$ 。どちらかに固定する）。
ゲインは $∣ L (j ω) ∣ = ∣ K ∣ \times$ （分子の因子の絶対値の積） $\div$ （分母の因子の絶対値の積）で求める。
位相は $ar g L (j ω) = ar g K +$ （分子の因子の偏角の和） $-$ （分母の因子の偏角の和）で求め、 $(- π, π]$ に直さずにそのまま使う。

例題

$L (s) = \frac{2}{s ( s + 1 ) ^{2}}$ とする。 $ω > 0$ に対し、 $ar g L (j ω)$ を $ω \to + 0$ で $- \frac{π}{2}$ に近づく連続関数として定める。 $ω = 1$ におけるゲイン $∣ L (j ω) ∣$ と位相 $ar g L (j ω)$ を、この順に組で求めよ。

例題の解答

手順 1. $L (s) = 2 \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}$ と、定数 $2$ 、因子 $s$ 、因子 $s + 1$ （2 重）に分ける。（ $L$ は原点に極をもつので安定ではないが、ゲインと位相の計算は $L (j ω)$ の式だけで行える。）

手順 2（各因子の絶対値）. $∣ j ω ∣ = ω$ , $∣ j ω + 1∣ = ω^{2} + 1$ 。

手順 3（各因子の偏角）. $ω > 0$ で $j ω$ は正の虚軸上にあるので $ar g (j ω) = \frac{π}{2}$ 。 $j ω + 1$ は実部 $1 > 0$ なので $ar g (j ω + 1) = arctan ω$ （ $0$ から $\frac{π}{2}$ へ連続に増える）。 $ar g 2 = 0$ 。

手順 4（ゲイン）.
$∣ L (j ω) ∣ = \frac{2}{ω ( ω ^{2} + 1 )} .$
$ω = 1$ で $∣ L (j) ∣ = \frac{2}{1 \cdot 2} = 1$ 。

手順 5（位相）.
$ar g L (j ω) = 0 - \frac{π}{2} - 2 arctan ω .$
これは連続で、 $ω \to + 0$ のとき $- \frac{π}{2}$ に近づくので、問題の定め方に合っている。 $ω = 1$ で $arctan 1 = \frac{π}{4}$ より
$ar g L (j) = - \frac{π}{2} - \frac{π}{2} = - π .$
（実際 $L (j) = \frac{2}{j ( j + 1 ) ^{2}} = \frac{2}{j \cdot 2 j} = - 1$ で、絶対値 $1$ 、偏角は $- π$ と矛盾しない。 $(- π, π]$ の主値なら $π$ だが、連続に追跡した値は $- π$ である。）

よって答えは $(1, - π)$ 。

答え: $(1, - π)$

よくある誤り

偏角を最後に $(- π, π]$ の主値に直してしまう誤り。正しくは因子ごとの偏角を連続に足した値を使う。例題の $L (s) = \frac{2}{s ( s + 1 ) ^{2}}$ では、連続に追跡した位相 $- \frac{π}{2} - 2 arctan ω$ は $ω = 1$ で $- π$ 、 $ω \to \infty$ で $- \frac{3 π}{2}$ に近づく。主値にすると $ω > 1$ で位相は $π$ から $\frac{π}{2}$ の間（ $ω = 1$ の直後は $π$ 付近、 $ω \to \infty$ で $\frac{π}{2}$ に近づく）の値になり、 $ω = 1$ で $- π$ から $+ π$ へ跳ぶため、位相が $- π$ を横切ったことが読めなくなる。
実部が負の因子の偏角を $arctan$ の公式そのままで求めてしまう誤り。例えば $ar g (j ω - 1) = arctan \frac{ω}{- 1} = - arctan ω$ とするのは誤りで、 $j ω - 1$ は第 2 象限にあるので正しくは $ar g (j ω - 1) = π - arctan ω$ （ $ω > 0$ ）。
絶対値を各項の絶対値の和として $∣ j ω + a ∣ = ω + a$ としてしまう誤り。正しくは $∣ j ω + a ∣ = ω^{2} + a^{2}$ 。例えば $∣ j + 1∣ = 2$ であって $2$ ではない。
重複した因子や分母の因子の偏角の符号を取り違え、 $\frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}$ の偏角を $- arctan ω$ や $+ 2 arctan ω$ としてしまう誤り。正しくは分母の因子は偏角を引き、2 重なら 2 回引くので $- 2 arctan ω$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
伝達関数
$G (s) = \frac{s + 1}{s ( s + 3 )}$
を考える。 $j$ を虚数単位とし、角周波数 $ω > 0$ に対する位相 $∠ G (j ω)$ は、各因子の偏角の和
$∠ G (j ω) = ar g (1 + j ω) - ar g (j ω) - ar g (3 + j ω)$
として、 $ω$ について連続になるように定める（ここで $ar g (1 + j ω)$ , $ar g (j ω)$ , $ar g (3 + j ω)$ はいずれも $0$ 以上 $\frac{π}{2}$ 以下の値をとる）。 $ω = 3$ におけるゲイン $∣ G (j 3) ∣$ と位相 $∠ G (j 3)$ （弧度法）を、この順に組で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ゲイン余裕と位相余裕（大学院数学制御理論）