制御理論の問題

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+1{)}^2}(K>0\text{ は定数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。$j$ は虚数単位とし、角周波数 $\omega >0$ に対する位相は $\omega$ について連続になるように
$$\angle L(j\omega )=-\frac{\pi }{2}-2\arctan \omega$$
と定める。

ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$ を $|L(j{\omega }_{gc})|=1$ を満たす角周波数とし、位相余裕を $\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})$ と定める。また、位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}>0$ を $\angle L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ を満たす角周波数とし、ゲイン余裕を比 $\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$（デシベルではない）で定める。

位相余裕がちょうど $\frac{\pi }{3}$ となるように $K$ を定めたとき、この系のゲイン余裕を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{2\sqrt{2}}{(s+1{)}^3}$$
で与えられる単位負帰還系を考える。

角周波数 $\omega >0$ に対し、$\angle L(j\omega )=-\pi$ となる $\omega$ を位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}$、$|L(j\omega )|=1$ となる $\omega$ をゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}$ とする（ここで位相 $\angle L(j\omega )$ は $\omega \to +0$ で $0$ に近づくように連続にとる）。ゲイン余裕を比の値
$$g_m=\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$$
（デシベルではない）、位相余裕を
$${\varphi }_m=\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})(\text{rad})$$
で定める。$g_m$ と ${\varphi }_m$ をこの順に組 $(g_m,{\varphi }_m)$ で求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{4}{s(s+1)(s+4)}$$
で与えられる単位負帰還系を考える（$j$ は虚数単位とする）。角周波数 $\omega >0$ に対する位相 $\arg L(j\omega )$ は、$\omega \to +0$ で $-\frac{\pi }{2}$ に近づくように連続的にとる。$\arg L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ を満たす角周波数 ${\omega }_{pc}>0$ を位相交差角周波数とし、ゲイン余裕を $g_m=\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$ で定める。$g_m$ の値を求めよ（デシベルではなく比の値で答えよ）。

開ループ伝達関数が $$L(s)=\frac{K}{(s+1{)}^3}(K>0)$$ で与えられる単位負帰還系を考える（$j$ を虚数単位とする）。ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$ を $|L(j{\omega }_{gc})|=1$ を満たす角周波数とし、位相余裕を $\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})$（弧度法、$\angle L(j\omega )$ は $\omega =0$ で $0$ となるように $\omega$ について連続にとった偏角）で定める。また、位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}>0$ を $\angle L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ を満たす角周波数とし、ゲイン余裕を倍率 $\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$ で定める。位相余裕がちょうど $\frac{\pi }{2}$ となるように $K$ を定めたとき、ゲイン余裕（倍率）を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+2{)}^2},K=\frac{32\sqrt{3}}{9}$$
で与えられる単位負帰還系を考える。

ゲイン余裕は、位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}>0$（$\arg L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ となる角周波数）を用いて $g_m=\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$（デシベルではなく倍率）と定める。位相余裕は、ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$（$|L(j{\omega }_{gc})|=1$ となる角周波数）を用いて ${\varphi }_m=\pi +\arg L(j{\omega }_{gc})$（弧度法）と定める。ただし $\omega >0$ における $\arg L(j\omega )$ は $-\pi /2$ から連続的に変化するようにとる。

ゲイン余裕 $g_m$ と位相余裕 ${\varphi }_m$ を、この順に組 $(g_m,{\varphi }_m)$ で求めよ。