ゲイン余裕と位相余裕

位相交差角周波数 $ω_{p c}$ とゲイン交差角周波数 $ω_{g c}$ を求め、ゲイン余裕 $g_{m} = 1/∣ L (j ω_{p c}) ∣$ と位相余裕 $ϕ_{m} = π + ar g L (j ω_{g c})$ を求められる

前提

周波数応答のゲインと位相（大学院数学制御理論）

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算数中学高校大学大学院

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周波数応答のゲインと位相（大学院数学制御理論）

説明

単位負帰還系の開ループ伝達関数 $L (s)$ の周波数応答から、閉ループ系が不安定になる状態まで「どれだけゆとりがあるか」を 2 つの数で表します。ゲインを何倍まで上げてよいかを表すのがゲイン余裕 $g_{m}$ 、位相の遅れをあとどれだけ許せるかを表すのが位相余裕 $ϕ_{m}$ です。位相が $- π$ になる角周波数（位相交差角周波数 $ω_{p c}$ ）とゲインが $1$ になる角周波数（ゲイン交差角周波数 $ω_{g c}$ ）を求めて計算し、制御系の設計や比較の目安に使います。

なぜそうしてよいのか

閉ループ系の極は特性方程式 $1 + L (s) = 0$ の根です。パラメータを少しずつ変えて閉ループ系が不安定になるとき、極は虚軸を横切るので、その瞬間にはある $ω$ で $1 + L (j ω) = 0$ 、つまり $L (j ω) = - 1$ となります。 $- 1$ は絶対値 $1$ 、偏角 $- π$ の複素数なので、これは「 $∣ L (j ω) ∣ = 1$ と $ar g L (j ω) = - π$ が同じ $ω$ で同時に起こる」ことです。余裕とは、いまの $L$ がこの危険な状態から、ゲインと位相のそれぞれの方向にどれだけ離れているかを測ったものです。

ゲインの方向: 位相が $- π$ になる $ω_{p c}$ では $L (j ω_{p c}) = - ∣ L (j ω_{p c}) ∣$ という負の実数です。ゲインを $g$ 倍すると $g L (j ω_{p c}) = - 1$ になるのは $g = 1/∣ L (j ω_{p c}) ∣$ のときなので、これをゲイン余裕 $g_{m}$ とします。位相の方向: ゲインが $1$ になる $ω_{g c}$ では $L (j ω_{g c})$ は単位円上にあり、偏角は $ar g L (j ω_{g c})$ です。ゲインを変えずに位相だけを $ϕ$ 遅らせて偏角がちょうど $- π$ になるのは $ϕ = ar g L (j ω_{g c}) - (- π) = π + ar g L (j ω_{g c})$ のときで、これを位相余裕 $ϕ_{m}$ とします。

大事なのは、偏角を「 $- π$ の何倍か」まで含めて連続的に追跡することです。開ループ系が安定で、 $ω$ を増やすとゲインが減り位相が遅れていく典型的な $L$ では、 $g_{m} > 1$ かつ $ϕ_{m} > 0$ のとき閉ループ系は安定で、値が大きいほど不安定から遠いと解釈します。ゲイン余裕はデシベルで $20 lo g_{10} g_{m}$ と表すこともありますが、ここでは比 $g_{m}$ そのもので答えます。

手順

$s = j ω$ を代入し、因子ごとに $∣ L (j ω) ∣$ と $ar g L (j ω)$ を $ω$ の式で書く。偏角は $ω = 0$ から連続的に追跡し、主値に折り返さない
位相交差角周波数 $ω_{p c}$ : $ar g L (j ω) = - π$ を解く
ゲイン余裕を $g_{m} = \frac{1}{∣ L ( j ω _{p c} ) ∣}$ で求める（デシベル表示なら $20 lo g_{10} g_{m}$ ）
ゲイン交差角周波数 $ω_{g c}$ : $∣ L (j ω) ∣ = 1$ （扱いやすければ $∣ L (j ω) ∣^{2} = 1$ ）を解く
位相余裕を $ϕ_{m} = π + ar g L (j ω_{g c})$ で求める

例題

単位負帰還系の開ループ伝達関数が
$L (s) = \frac{2 2}{( s + 1 ) ^{3}}$
であるとき、ゲイン余裕 $g_{m}$ （比で表す）と位相余裕 $ϕ_{m}$ （弧度法）を、この順に組 $(g_{m}, ϕ_{m})$ として求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $L (j ω) = \frac{2 2}{( 1 + j ω ) ^{3}}$ で、因子 $1 + j ω$ の絶対値は $1 + ω^{2}$ 、偏角は $arctan ω$ （ $0$ から $π /2$ へ増加）。よって $ω > 0$ で
$∣ L (j ω) ∣ = \frac{2 2}{( 1 + ω ^{2} ) ^{3/2}}, ar g L (j ω) = - 3 arctan ω .$
偏角は $0$ から $- 3 π /2$ へ連続的に減少する。

【手順 2】 $- 3 arctan ω = - π$ より $arctan ω = \frac{π}{3}$ 、 $ω_{p c} = 3$ 。

【手順 3】 $∣ L (j 3) ∣ = \frac{2 2}{( 1 + 3 ) ^{3/2}} = \frac{2 2}{8} = \frac{2}{4}$ 。よって
$g_{m} = \frac{1}{2 /4} = \frac{4}{2} = 22 .$

【手順 4】 $\frac{2 2}{( 1 + ω ^{2} ) ^{3/2}} = 1$ より $(1 + ω^{2})^{3/2} = 22 = 2^{3/2}$ 、 $1 + ω^{2} = 2$ 、 $ω_{g c} = 1$ 。

【手順 5】 $ar g L (j 1) = - 3 arctan 1 = - \frac{3 π}{4}$ より
$ϕ_{m} = π - \frac{3 π}{4} = \frac{π}{4} .$

よって $(g_{m}, ϕ_{m}) = (22, \frac{π}{4})$ 。 $g_{m} > 1, ϕ_{m} > 0$ で、閉ループ系に余裕があることがわかる。

答え: $(22, \frac{π}{4})$

よくある誤り

ゲイン余裕を $∣ L (j ω_{p c}) ∣$ そのものとしてしまう誤り。ゲインを $g$ 倍して $- 1$ に届く倍率なので、正しくは逆数 $g_{m} = 1/∣ L (j ω_{p c}) ∣$ 。例題で $\frac{2}{4}$ と答えると、余裕がない（ $g_{m} < 1$ ）ように見えてしまう
位相余裕を $ar g L (j ω_{g c})$ そのもの、または $π - ar g L (j ω_{g c})$ としてしまう誤り。 $- π$ からの距離なので、正しくは $ϕ_{m} = π + ar g L (j ω_{g c})$ 。例題では $π + (- \frac{3 π}{4}) = \frac{π}{4}$ であり、 $- \frac{3 π}{4}$ や $\frac{7 π}{4}$ ではない
偏角を主値（ $- π$ から $π$ ）に折り返して計算してしまう誤り。例えば $L (s) = \frac{1}{( s + 1 ) ^{3}}$ の $ω = 2$ での偏角は $- 3 arctan 2 \approx - 3.32$ で $- π$ より遅れているが、主値に直すと約 $+ 2.96$ となり、位相交差を見落とす。偏角は因子ごとの和として $ω = 0$ から連続的に追跡する
2 つの角周波数を取り違える誤り。ゲイン余裕は位相が $- π$ になる $ω_{p c}$ でのゲインから、位相余裕はゲインが $1$ になる $ω_{g c}$ での位相から求める。例題で $ω_{g c} = 1$ のゲイン $1$ からゲイン余裕を出したり、 $ω_{p c} = 3$ の位相 $- π$ から位相余裕を $0$ としたりしてはいけない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
開ループ伝達関数が
$L (s) = \frac{4}{s ( s + 1 ) ( s + 4 )}$
で与えられる単位負帰還系を考える（ $j$ は虚数単位とする）。角周波数 $ω > 0$ に対する位相 $ar g L (j ω)$ は、 $ω \to + 0$ で $- \frac{π}{2}$ に近づくように連続的にとる。 $ar g L (j ω_{p c}) = - π$ を満たす角周波数 $ω_{p c} > 0$ を位相交差角周波数とし、ゲイン余裕を $g_{m} = \frac{1}{∣ L ( j ω _{p c} ) ∣}$ で定める。 $g_{m}$ の値を求めよ（デシベルではなく比の値で答えよ）。

ゲイン余裕と位相余裕

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題