制御理論の問題

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{4}{s(s+1)(s+4)}$$
で与えられる単位負帰還系を考える（$j$ は虚数単位とする）。角周波数 $\omega >0$ に対する位相 $\arg L(j\omega )$ は、$\omega \to +0$ で $-\frac{\pi }{2}$ に近づくように連続的にとる。$\arg L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ を満たす角周波数 ${\omega }_{pc}>0$ を位相交差角周波数とし、ゲイン余裕を $g_m=\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$ で定める。$g_m$ の値を求めよ（デシベルではなく比の値で答えよ）。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+1{)}^2}(K>0\text{ は定数})$$
で与えられる単位負帰還系を考える。$j$ は虚数単位とし、角周波数 $\omega >0$ に対する位相は $\omega$ について連続になるように
$$\angle L(j\omega )=-\frac{\pi }{2}-2\arctan \omega$$
と定める。

ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$ を $|L(j{\omega }_{gc})|=1$ を満たす角周波数とし、位相余裕を $\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})$ と定める。また、位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}>0$ を $\angle L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ を満たす角周波数とし、ゲイン余裕を比 $\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$（デシベルではない）で定める。

位相余裕がちょうど $\frac{\pi }{3}$ となるように $K$ を定めたとき、この系のゲイン余裕を求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{3(s+1)}{2s^2}$$
で与えられる単位負帰還系を考える。ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$ を $|L(j{\omega }_{gc})|=1$ を満たす角周波数とし（$j$ は虚数単位）、位相余裕を
$$\mathrm{PM}=\pi +\angle L(j{\omega }_{gc})$$
で定める。ただし偏角 $\angle L(j\omega )$ は $\omega >0$ で連続になるように、$\omega \to +0$ で $-\pi$ に近づく値をとるものとする。位相余裕 $\mathrm{PM}$ を弧度法で求めよ。

開ループ伝達関数が
$$L(s)=\frac{K}{s(s+2{)}^2},K=\frac{32\sqrt{3}}{9}$$
で与えられる単位負帰還系を考える。

ゲイン余裕は、位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}>0$（$\arg L(j{\omega }_{pc})=-\pi$ となる角周波数）を用いて $g_m=\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}$（デシベルではなく倍率）と定める。位相余裕は、ゲイン交差角周波数 ${\omega }_{gc}>0$（$|L(j{\omega }_{gc})|=1$ となる角周波数）を用いて ${\varphi }_m=\pi +\arg L(j{\omega }_{gc})$（弧度法）と定める。ただし $\omega >0$ における $\arg L(j\omega )$ は $-\pi /2$ から連続的に変化するようにとる。

ゲイン余裕 $g_m$ と位相余裕 ${\varphi }_m$ を、この順に組 $(g_m,{\varphi }_m)$ で求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{12}{(s+1)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加える。このときの出力 $y(t)(t\ge 0)$ を $t$ の式で求めよ。