この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

制御理論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学制御理論

制御対象
$G (s) = \frac{1 - s}{( s + 1 ) ^{2}}$
に PI 制御器
$C (s) = K_{P} + \frac{K _{I}}{s} (K_{P}, K_{I} は実数)$
を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系の特性方程式は
$s (s + 1)^{2} + (1 - s) (K_{P} s + K_{I}) = 0$
である。この方程式の根（複素数の範囲で考える）の実部がすべて負となるような点 $(K_{P}, K_{I})$ 全体を $K_{P} K_{I}$ 平面上の領域 $D$ とするとき、 $D$ の面積を求めよ。

この問題で使うもの

2 パラメータの安定領域（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（85 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

2 パラメータの安定領域を求める技能を使います。特性多項式を $s$ について整理し、ラウスの条件を $K_{P}, K_{I}$ の連立不等式として書き、平面上の領域として面積を求めます。

ヒント 2

特性多項式は $s^{3} + (2 - K_{P}) s^{2} + (1 + K_{P} - K_{I}) s + K_{I}$ です。3 次式 $s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ では $a_{2} > 0$ , $a_{0} > 0$ , $a_{2} a_{1} > a_{0}$ が条件です。

ヒント 3

条件は $K_{P} < 2$ , $K_{I} > 0$ , $K_{I} < \frac{( 2 - K _{P} ) ( 1 + K _{P} )}{3 - K _{P}}$ となり、 $K_{P}$ の範囲は $- 1 < K_{P} < 2$ です。この曲線の下の部分の面積を定積分で求めましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{15}{2} - 8 lo g 2

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

特性多項式を整理する.
$s (s + 1)^{2} = s^{3} + 2 s^{2} + s, (1 - s) (K_{P} s + K_{I}) = - K_{P} s^{2} + (K_{P} - K_{I}) s + K_{I}$
より、特性多項式は
$s^{3} + (2 - K_{P}) s^{2} + (1 + K_{P} - K_{I}) s + K_{I} .$

ラウス表.
$s^{3} s^{2} s^{1} s^{0} 1 2 - K_{P} \frac{( 2 - K _{P} ) ( 1 + K _{P} - K _{I} ) - K _{I}}{2 - K _{P}} K_{I} 1 + K_{P} - K_{I} K_{I}$
$s^{1}$ の行の分子は
$(2 - K_{P}) (1 + K_{P}) - K_{I} (2 - K_{P}) - K_{I} = (2 - K_{P}) (1 + K_{P}) - (3 - K_{P}) K_{I} .$

安定条件（連立不等式）. 第 1 列がすべて正となる条件は
$(1) K_{P} < 2, (2) K_{I} > 0, (3) (2 - K_{P}) (1 + K_{P}) > (3 - K_{P}) K_{I} .$
$(1)$ のもとで $3 - K_{P} > 0$ なので、 $(3)$ は
$K_{I} < \frac{( 2 - K _{P} ) ( 1 + K _{P} )}{3 - K _{P}}$
と書ける。 $(2)$ と合わせると $0 < K_{I} < \frac{( 2 - K _{P} ) ( 1 + K _{P} )}{3 - K _{P}}$ であり、これをみたす $K_{I}$ があるのは右辺が正のとき、すなわち $(1)$ のもとで $1 + K_{P} > 0$ のときである。よって
$D = {(K_{P}, K_{I}) - 1 < K_{P} < 2, 0 < K_{I} < \frac{( 2 - K _{P} ) ( 1 + K _{P} )}{3 - K _{P}}} .$

面積. $x = K_{P}$ とおいて、割り算をすると $- x^{2} + x + 2 = (x - 3) (- x - 2) - 4$ より
$\frac{( 2 - x ) ( 1 + x )}{3 - x} = x + 2 - \frac{4}{3 - x} .$
よって面積は
$\int_{- 1}^{2} (x + 2 - \frac{4}{3 - x}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 4 lo g (3 - x)]_{- 1}^{2} = (2 + 4 + 0) - (\frac{1}{2} - 2 + 4 lo g 4) = \frac{15}{2} - 8 lo g 2.$
（ $\approx 1.955$ で正である。）

別解

展開すると $s (s + 1)^{2} + (1 - s) (K_{P} s + K_{I}) = s^{3} + (2 - K_{P}) s^{2} + (1 + K_{P} - K_{I}) s + K_{I}$ 。 $p = K_{P}, q = K_{I}$ とおく。3 次式 $s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ の根の実部がすべて負である条件（ラウス・フルビッツ）は $a_{2} > 0, a_{0} > 0, a_{1} > 0, a_{2} a_{1} > a_{0}$ （ $a_{2}, a_{0} > 0$ のもとで $a_{2} a_{1} > a_{0}$ なら $a_{1} > 0$ は自動的に成り立つ）。ここで $a_{2} = 2 - p > 0$ より $p < 2$ 、 $a_{0} = q > 0$ 。 $(2 - p) (1 + p - q) > q$ を整理すると $(2 - p) (1 + p) > q (3 - p)$ 。 $p < 2$ より $3 - p > 0$ なので $q < \frac{( 2 - p ) ( 1 + p )}{3 - p}$ 。 $q > 0$ との両立には $(2 - p) (1 + p) > 0$ 、すなわち $- 1 < p < 2$ が必要で、このとき十分。よって $D = {- 1 < p < 2, 0 < q < \frac{( 2 - p ) ( 1 + p )}{3 - p}}$ 。面積は $\int_{- 1}^{2} \frac{2 + p - p ^{2}}{3 - p} d p$ 。 $t = 3 - p$ とおくと $2 + p - p^{2} = - t^{2} + 5 t - 4$ 、 $p : - 1 \to 2$ は $t : 4 \to 1$ なので面積 $= \int_{1}^{4} (- \frac{4}{t} + 5 - t) d t = - 4 lo g 4 + 15 - \frac{15}{2} = \frac{15}{2} - 8 lo g 2$ 。検算: 数値は $7.5 - 5.545 \approx 1.955 > 0$ 。 $(p, q) = (0, 0.5)$ では $a_{2} = 2, a_{1} = 0.5, a_{0} = 0.5$ 、 $a_{2} a_{1} = 1 > 0.5$ で安定、領域内（ $q < 2/3$ ）で整合する。

制御理論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題