2 パラメータの安定領域

PI 制御器の $(K_{P}, K_{I})$ のような 2 つのパラメータについて、ラウスの条件を連立不等式として平面上の安定領域に表し、その境界や面積を求められる

前提

ラウス・フルビッツの安定判別（大学院数学制御理論）
定積分と面積（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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ラウス・フルビッツの安定判別（大学院数学制御理論）
定積分と面積（数学II 微分法と積分法）

説明

制御系に調整できるパラメータが 2 つあるとき（PI 制御器の比例ゲイン $K_{P}$ と積分ゲイン $K_{I}$ 、ゲイン $K$ と極の位置 $a$ など）、閉ループ系が安定になるパラメータの組全体を、平面上の領域として描けるようになります。ラウスの条件は 2 つのパラメータについての連立不等式になるので、それを $(p, q)$ 平面に図示し、境界の式や領域の面積を求めます。設計のときに「どこまでゲインを動かしても安定か」を一目で見るために使います。

なぜそうしてよいのか

特性多項式の係数が 2 つのパラメータ $p, q$ の式になっていても、ラウス・フルビッツの判別はそのまま使えます。パラメータを固定するごとに係数はただの実数なので、ラウス表の第 1 列がすべて正であることが「根の実部がすべて負」と同値です。したがって、第 1 列の各成分を $p, q$ の式として書き、それらがすべて正という連立不等式を解けば、安定となる $(p, q)$ の集合がちょうど得られます。1 パラメータのときは数直線上の区間だった答えが、2 パラメータでは平面上の領域になる、というだけの違いです。

たとえば 3 次の特性多項式 $s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ のラウス表は、第 1 列が $1, a_{2}, \frac{a _{2} a _{1} - a _{0}}{a _{2}}, a_{0}$ です。よって安定条件は $a_{2} > 0, a_{0} > 0, a_{2} a_{1} - a_{0} > 0$ の 3 つ（このとき $a_{1} > a_{0} / a_{2} > 0$ も自動的に成り立つ）。係数 $a_{i}$ が $p, q$ の 1 次式なら境界は直線、2 次の項を含めば放物線などの曲線になります。

境界の意味も直観的に理解できます。パラメータを連続的に動かすと根も連続的に動くので、安定な状態から不安定な状態に移るには、根が虚軸を横切らなければなりません。 $a_{0} = 0$ は根 $s = 0$ が虚軸を横切る境界、 $a_{2} a_{1} - a_{0} = 0$ は純虚数の根の組 $s = \pm j ω$ が虚軸を横切る境界です。境界の上では根が虚軸上にあるので安定ではなく、安定領域は境界を含まない開いた領域になります（面積を求めるときには境界の有無は影響しません）。

手順

開ループ伝達関数 $L (s)$ から特性方程式 $1 + L (s) = 0$ をつくり、分母を払って特性多項式にする。係数を 2 つのパラメータ $p, q$ の式として整理する（PI 制御器 $K_{P} + K_{I} / s$ なら $s$ を掛けるので次数が 1 つ上がる）
ラウス表をつくり、第 1 列の各成分を $p, q$ の式で書く。3 次 $s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ なら条件は $a_{2} > 0, a_{0} > 0, a_{2} a_{1} > a_{0}$
第 1 列がすべて正という連立不等式を、片方のパラメータについて解いた形（例: $0 < q < f (p)$ ）に直し、もう片方のとりうる範囲も調べる
各不等式の境界（等号の式）を $(p, q)$ 平面に描き、不等式を満たす側の共通部分を安定領域とする。境界自体は含めない
面積が問われたら、境界の交点を求め、上側の境界と下側の境界の差を定積分する: $S = \int_{α}^{β} {f (p) - g (p)} d p$

例題

開ループ伝達関数が $L (s) = \frac{K}{s ( s + 1 ) ( s + a )}$ （ $a, K$ は実数のパラメータ）である単位負帰還系を考える。閉ループ系が安定となる点 $(a, K)$ のうち $a \leq 1$ を満たすもの全体が $a K$ 平面上につくる領域の面積を求めよ。

例題の解答

【手順 1】特性方程式は $1 + \frac{K}{s ( s + 1 ) ( s + a )} = 0$ 。分母を払うと $s (s + 1) (s + a) + K = 0$ で、 $(s + 1) (s + a) = s^{2} + (a + 1) s + a$ より特性多項式は
$s^{3} + (a + 1) s^{2} + a s + K$
となる。係数は $a_{2} = a + 1, a_{1} = a, a_{0} = K$ 。

【手順 2】ラウス表は
$s^{3} s^{2} s^{1} s^{0} 1 a + 1 \frac{( a + 1 ) a - K}{a + 1} K a K$
で、第 1 列がすべて正である条件は
$a + 1 > 0, K > 0, a (a + 1) > K .$

【手順 3】後の 2 つから $0 < K < a (a + 1)$ 。これを満たす $K$ があるには $a (a + 1) > 0$ 、すなわち $a < - 1$ または $a > 0$ が必要で、 $a + 1 > 0$ と合わせて $a > 0$ 。よって安定条件は
$a > 0, 0 < K < a^{2} + a .$

【手順 4】 $a K$ 平面で、境界は直線 $K = 0$ （根 $s = 0$ が現れる）と放物線 $K = a^{2} + a$ （純虚数の根が現れる）。安定領域は $a > 0$ で、放物線の下側かつ $a$ 軸の上側の部分（境界は含まない）。これに $a \leq 1$ を加えると、 $0 < a \leq 1$ で $0 < K < a^{2} + a$ の部分になる。

【手順 5】放物線 $K = a^{2} + a$ と $K = 0$ は $a = 0$ で交わり（ $a = - 1$ は範囲外）、 $0 < a \leq 1$ では $a^{2} + a > 0$ 。よって面積は
$S = \int_{0}^{1} (a^{2} + a) d a = [\frac{a ^{3}}{3} + \frac{a ^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} .$

答え: $\frac{5}{6}$

よくある誤り

定数項の条件を落とす誤り。PI 制御では特性多項式の定数項が $K_{I}$ になるので、 $a_{2} a_{1} > a_{0}$ だけを見て $K_{I} < 3 (K_{P} + 2)$ とし、 $K_{I} \leq 0$ の部分まで安定領域に含めてしまう。正しくは $K_{I} > 0$ も必要で、領域は $0 < K_{I} < 3 (K_{P} + 2)$ である（例: $s^{3} + 3 s^{2} + (K_{P} + 2) s + K_{I}$ の場合）
3 次の条件を「係数がすべて正」だけで済ませる誤り。 $s^{3} + (a + 1) s^{2} + a s + K$ で $a + 1 > 0, a > 0, K > 0$ とすると、 $K$ が上に有界でない領域になってしまう。正しくはさらに $a_{2} a_{1} > a_{0}$ 、すなわち $K < a (a + 1)$ が必要である
不等式の向きを取り違えて、境界の反対側を安定領域にしてしまう誤り。 $a (a + 1) - K > 0$ は $K < a^{2} + a$ （放物線の下側）であり、 $K > a^{2} + a$ ではない。迷ったら領域内の 1 点（例: $a = 1, K = 1$ で $s^{3} + 2 s^{2} + s + 1$ 、 $2 \cdot 1 > 1$ で安定）を代入して確かめる
境界を安定領域に含めてしまう誤り。 $K = a (a + 1)$ の上では特性多項式が $(s + a + 1) (s^{2} + a)$ と因数分解でき、根 $s = \pm j a$ が虚軸上にあるので安定ではない。安定領域は $0 < K < a^{2} + a$ と等号を含まない（面積の値は変わらない）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
制御対象
$G (s) = \frac{1 - s}{( s + 1 ) ^{2}}$
に PI 制御器
$C (s) = K_{P} + \frac{K _{I}}{s} (K_{P}, K_{I} は実数)$
を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系の特性方程式は
$s (s + 1)^{2} + (1 - s) (K_{P} s + K_{I}) = 0$
である。この方程式の根（複素数の範囲で考える）の実部がすべて負となるような点 $(K_{P}, K_{I})$ 全体を $K_{P} K_{I}$ 平面上の領域 $D$ とするとき、 $D$ の面積を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の難問レベル）
制御対象
$G (s) = \frac{1}{( s + 1 ) ^{3}}$
に PI 制御器
$C (s) = K_{P} + \frac{K _{I}}{s} (K_{P}, K_{I} は実数)$
を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系が漸近安定である（閉ループ特性多項式の根の実部がすべて負である）ような点 $(K_{P}, K_{I})$ 全体は、 $K_{P} K_{I}$ 平面上の有界な領域 $D$ をなす。 $D$ の面積を求めよ。