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制御理論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学制御理論

制御対象
$G (s) = \frac{1}{( s + 1 ) ^{3}}$
に PI 制御器
$C (s) = K_{P} + \frac{K _{I}}{s} (K_{P}, K_{I} は実数)$
を直列に接続し、単位負帰還をかけた閉ループ系を考える。閉ループ系が漸近安定である（閉ループ特性多項式の根の実部がすべて負である）ような点 $(K_{P}, K_{I})$ 全体は、 $K_{P} K_{I}$ 平面上の有界な領域 $D$ をなす。 $D$ の面積を求めよ。

この問題で使うもの

2 パラメータの安定領域（説明と入口の問題）
ラウス・フルビッツの安定判別（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（85 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず閉ループ特性多項式 $s (s + 1)^{3} + K_{P} s + K_{I}$ を展開し、4 次多項式の係数を $K_{P}, K_{I}$ で表そう。

ヒント 2

4 次のラウス表を作り、第 1 列がすべて正になる条件を書く。 $s^{1}$ 行の要素が正であることは $a_{3} a_{2} a_{1} - a_{1}^{2} - a_{3}^{2} a_{0} > 0$ と同値になる。

ヒント 3

$a_{1} = 1 + K_{P}$ , $a_{0} = K_{I}$ とおくと条件は $0 < a_{0} < a_{1} (9 - a_{1}) /9$ にまとまる。あとはこの領域の面積を積分で求める。

答えと解説

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\frac{27}{2}

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解説を読む

1. 特性多項式. 開ループ伝達関数は $C (s) G (s) = \frac{K _{P} s + K _{I}}{s ( s + 1 ) ^{3}}$ なので、閉ループ特性多項式は
$s (s + 1)^{3} + K_{P} s + K_{I} = s^{4} + 3 s^{3} + 3 s^{2} + (1 + K_{P}) s + K_{I} .$
以下 $a_{1} = 1 + K_{P}, a_{0} = K_{I}$ とおく。

2. ラウスの表. $s^{4} + a_{3} s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}$ （ $a_{3} = 3, a_{2} = 3$ ）のラウス表は
$s^{4} s^{3} s^{2} s^{1} s^{0} 13 b_{1} c_{1} a_{0} 3 a_{1} a_{0} a_{0}$
で、
$b_{1} = \frac{3 \cdot 3 - a _{1}}{3} = \frac{9 - a _{1}}{3}, c_{1} = \frac{b _{1} a _{1} - 3 a _{0}}{b _{1}} .$
ラウスの安定判別法より、漸近安定であるための必要十分条件は第 1 列がすべて正であること、すなわち
$b_{1} > 0, c_{1} > 0, a_{0} > 0.$
$b_{1} > 0$ のもとで $c_{1} > 0 ⟺ b_{1} a_{1} - 3 a_{0} > 0 ⟺ \frac{( 9 - a _{1} ) a _{1}}{3} > 3 a_{0} ⟺ a_{0} < \frac{a _{1} ( 9 - a _{1} )}{9}$ 。
（フルビッツの条件 $a_{3} a_{2} a_{1} - a_{1}^{2} - a_{3}^{2} a_{0} > 0$ 、すなわち $9 a_{1} - a_{1}^{2} - 9 a_{0} > 0$ と同じである。）

3. 領域の決定. 条件は
$a_{1} < 9, 0 < a_{0} < \frac{a _{1} ( 9 - a _{1} )}{9} .$
$a_{0} > 0$ かつ $a_{0} < a_{1} (9 - a_{1}) /9$ から $a_{1} (9 - a_{1}) > 0$ 、つまり $0 < a_{1} < 9$ が従う。よって
$D = {(K_{P}, K_{I}) - 1 < K_{P} < 8, 0 < K_{I} < \frac{( 1 + K _{P} ) ( 8 - K _{P} )}{9}} .$

4. 面積. $(K_{P}, K_{I}) \mapsto (a_{1}, a_{0})$ は平行移動なので面積は変わらない。
$面積 = \int_{0}^{9} \frac{a _{1} ( 9 - a _{1} )}{9} d a_{1} = \frac{1}{9} [\frac{9 a _{1}^{2}}{2} - \frac{a _{1}^{3}}{3}]_{0}^{9} = \frac{1}{9} (\frac{729}{2} - 243) = \frac{1}{9} \cdot \frac{243}{2} = \frac{27}{2} .$

答え: $\frac{27}{2}$

別解

閉ループ特性多項式は $s (s + 1)^{3} + K_{P} s + K_{I} = s^{4} + 3 s^{3} + 3 s^{2} + (1 + K_{P}) s + K_{I}$ 。 $a = 1 + K_{P}$ 、 $c = K_{I}$ とおく。ラウス表: 第1列は $1, 3, b_{1} = \frac{3 \cdot 3 - a}{3} = \frac{9 - a}{3}, c_{1} = \frac{b _{1} a - 3 c}{b _{1}}, c$ 。すべて正となる条件は $b_{1} > 0$ すなわち $a < 9$ 、 $b_{1} a - 3 c > 0$ すなわち $c < \frac{a ( 9 - a )}{9}$ 、 $c > 0$ （これと $c < a (9 - a) /9$ から $0 < a < 9$ も従う）。\n\nよって $D$ は $0 < a < 9$ 、 $0 < c < \frac{a ( 9 - a )}{9}$ 。 $a = 1 + K_{P}$ は平行移動なので面積は変わらない。\n $t e x t 面積 = f r a c 19 in t_{0}^{9} a (9 - a), d a = f r a c 19 c d o t f r a c 9^{3} 6 = f r a c 272 .$ \n検算: $a = 4.5$ 、 $c = 1$ （ $< 2.25$ ）で $s^{4} + 3 s^{3} + 3 s^{2} + 4.5 s + 1$ のラウス判定は $b_{1} = 1.5$ 、 $c_{1} = (6.75 - 3) /1.5 = 2.5 > 0$ で安定。境界 $c = a (9 - a) /9$ では純虚根をもつ。

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