フーリエ解析・ラプラス変換の問題

$y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$ とおきます。

手順1：両辺をラプラス変換する

導関数のラプラス変換は $\mathcal{L}[y^{\prime }(t)]=sY(s)-y(0)$ です。初期条件 $y(0)=2$ を代入すると $sY(s)-2$ になります。また $\mathcal{L}[e^{-t}]=\frac{1}{s+1}$ です。これらより、微分方程式は
$$sY(s)-2+3Y(s)=\frac{1}{s+1}$$
という $Y(s)$ の代数方程式になります。

手順2：$Y(s)$ について解く

$$(s+3)Y(s)=2+\frac{1}{s+1}$$
$$Y(s)=\frac{2}{s+3}+\frac{1}{(s+1)(s+3)}$$

手順3：部分分数に分解する

$$\frac{1}{(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}$$
とおきます。両辺に $(s+1)(s+3)$ を掛けると $1=A(s+3)+B(s+1)$ です。$s=-1$ を代入すると $2A=1$ より $A=\frac{1}{2}$、$s=-3$ を代入すると $-2B=1$ より $B=-\frac{1}{2}$ です。よって
$$Y(s)=\frac{2}{s+3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s+1}+\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{s+3}$$

手順4：逆ラプラス変換する

${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right]=e^{at}$ を使うと
$$y(t)=\frac{1}{2}{e}^{-t}+\frac{3}{2}{e}^{-3t}$$
となります。

検算

$y^{\prime }(t)=-\frac{1}{2}{e}^{-t}-\frac{9}{2}{e}^{-3t}$ です。よって
$$y^{\prime }+3y=\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)e^{-t}+\left(-\frac{9}{2}+\frac{9}{2}\right)e^{-3t}=e^{-t}$$
が成り立ちます。また $y(0)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$ なので、初期条件も満たしています。

答え：$y(t)=\frac{1}{2}{e}^{-t}+\frac{3}{2}{e}^{-3t}$

$Y(s)=\mathcal{L}[y](s)$ とおく。両辺をラプラス変換すると $sY-y(0)+3Y=\frac{1}{s+1}$ であり、$y(0)=2$ より $(s+3)Y=2+\frac{1}{s+1}=\frac{2s+3}{s+1}$。よって $Y=\frac{2s+3}{(s+1)(s+3)}$。部分分数分解を $\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}$ とおく。$A=\frac{2(-1)+3}{-1+3}=\frac{1}{2}$、$B=\frac{2(-3)+3}{-3+1}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$。したがって $Y=\frac{1/2}{s+1}+\frac{3/2}{s+3}$。逆変換して $y(t)=\frac{1}{2}{e}^{-t}+\frac{3}{2}{e}^{-3t}$。
検算: $y(0)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。$y^{\prime }=-\frac{1}{2}{e}^{-t}-\frac{9}{2}{e}^{-3t}$、$3y=\frac{3}{2}{e}^{-t}+\frac{9}{2}{e}^{-3t}$ なので $y^{\prime }+3y=e^{-t}$。条件を満たす。