フーリエ解析・ラプラス変換の問題

$y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)](s)$ とおく。

手順 1：両辺をラプラス変換する。
導関数のラプラス変換の公式
$$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }(t)]=s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)$$
に初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ を代入すると、$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }(t)]=s^{2}Y(s)$ となる。また、$\mathcal{L}[8]=\frac{8}{s}$ である。ラプラス変換は線形なので、微分方程式の両辺を変換すると
$$s^{2}Y(s)+4Y(s)=\frac{8}{s}$$
となる。

手順 2：代数方程式を $Y(s)$ について解く。
$$(s^2+4)Y(s)=\frac{8}{s}\text{より}Y(s)=\frac{8}{s(s^2+4)}$$
である。

手順 3：部分分数に分解する。
$$\frac{8}{s(s^2+4)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+4}$$
とおいて両辺に $s(s^2+4)$ を掛けると
$$8=A(s^2+4)+(Bs+C)s=(A+B)s^2+Cs+4A$$
となる。係数を比較すると $4A=8$、$C=0$、$A+B=0$ なので、$A=2,B=-2,C=0$ である。よって
$$Y(s)=\frac{2}{s}-\frac{2s}{s^2+4}$$
となる。

手順 4：逆ラプラス変換する。
$\mathcal{L}[1]=\frac{1}{s}$、$\mathcal{L}[\cos 2t]=\frac{s}{s^2+4}$ を使うと
$$y(t)=2-2\cos 2t$$
となる。

検算： $y^{\prime }=4\sin 2t$、$y^{\prime \prime }=8\cos 2t$ である。よって $y^{\prime \prime }+4y=8\cos 2t+8-8\cos 2t=8$ となり、微分方程式を満たす。また $y(0)=2-2=0$、$y^{\prime }(0)=0$ なので、初期条件も満たす。

したがって $y(t)=2-2\cos 2t$ である。

両辺をラプラス変換する。$Y(s)=\mathcal{L}[y](s)$ とおくと、初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ より $\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^{2}Y(s)$。右辺は $\mathcal{L}[8]=8/s$。よって $(s^2+4)Y(s)=8/s$、すなわち $Y(s)=\frac{8}{s(s^2+4)}$。
部分分数分解して $\frac{8}{s(s^2+4)}=\frac{a}{s}+\frac{bs+c}{s^2+4}$ とおく。$8=a(s^2+4)+(bs+c)s$ より、$s=0$ で $a=2$。$s^2$ の係数は $a+b=0$ なので $b=-2$。$s$ の係数は $c=0$。よって $Y(s)=\frac{2}{s}-\frac{2s}{s^2+4}$。
逆ラプラス変換して $y(t)=2-2\cos 2t$。
検算：$y^{\prime }=4\sin 2t$、$y^{\prime \prime }=8\cos 2t$。$y^{\prime \prime }+4y=8\cos 2t+8-8\cos 2t=8$。$y(0)=2-2=0$、$y^{\prime }(0)=0$。条件を満たす。