フーリエ解析・ラプラス変換の問題

手順1：両辺をラプラス変換する。

導関数のラプラス変換の公式
$$\mathcal{L}[y^{\prime }](s)=sY(s)-y(0),\mathcal{L}[y^{\prime \prime }](s)=s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)$$
を使う。$y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を代入すると
$$\mathcal{L}[y^{\prime }](s)=sY-1,\mathcal{L}[y^{\prime \prime }](s)=s^{2}Y-s.$$
右辺は $0$ なので、そのラプラス変換も $0$ である。ラプラス変換は線形なので、微分方程式は
$$(s^{2}Y-s)+3(sY-1)+2Y=0$$
となる。

手順2：$Y(s)$ についての代数方程式を解く。

$Y$ を含む項をまとめると
$$(s^2+3s+2)Y=s+3$$
となる。$s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$ と因数分解できるので
$$Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}.$$

手順3：部分分数に分解する。

$$\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}$$
とおく。両辺に $(s+1)(s+2)$ を掛けると
$$s+3=A(s+2)+B(s+1)$$
となる。
- $s=-1$ を代入すると $2=A$ である。
- $s=-2$ を代入すると $1=-B$ より $B=-1$ である。

よって
$$Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}.$$

手順4：逆ラプラス変換する。

$\mathcal{L}[e^{at}](s)=\frac{1}{s-a}$ を使うと
$$y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}.$$

確かめ。

$y(0)=2-1=1$ である。$y^{\prime }(t)=-2e^{-t}+2e^{-2t}$ より $y^{\prime }(0)=0$ である。また $y^{\prime \prime }(t)=2e^{-t}-4e^{-2t}$ なので
$$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=(2-6+4)e^{-t}+(-4+6-2)e^{-2t}=0$$
となり、微分方程式を満たす。

答え：$y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}$

両辺をラプラス変換する。$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^{2}Y-sy(0)-y^{\prime }(0)=s^{2}Y-s$、$\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY-y(0)=sY-1$ なので、
$$s^{2}Y-s+3(sY-1)+2Y=0$$
$$(s^2+3s+2)Y=s+3$$
$$Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$$
部分分数分解して $\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}$ とおく。$A=\frac{-1+3}{-1+2}=2$、$B=\frac{-2+3}{-2+1}=-1$。
よって $Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}$。
逆ラプラス変換して $y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}$。
検算: $y(0)=2-1=1$。$y^{\prime }=-2e^{-t}+2e^{-2t}$ より $y^{\prime }(0)=0$。$y^{\prime \prime }=2e^{-t}-4e^{-2t}$。$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y$ は $e^{-t}$ の係数が $2-6+4=0$、$e^{-2t}$ の係数が $-4+6-2=0$ となり、微分方程式を満たす。