電気回路の問題

コイルを $\mathrm{S}$ 側から $\mathrm{A}$ へ流れる電流を $i_L(t)$、$\mathrm{A}$ の $\mathrm{B}$ に対する電位を $v(t)$ とする。初期条件は、コイルの電流と コンデンサーの電荷（電圧）が瞬間的には変化できないことから
$$i_L(0)=0,v(0)=v_0=20\mathrm{V}$$
である。

回路方程式　$t\ge 0$ で、キルヒホッフの電圧則からコイルについて
$$L\frac{d{i}_L}{dt}=E-v(1)$$
節点 $\mathrm{A}$ での電流保存（キルヒホッフの電流則）から
$$i_L=\frac{v}{R}+C\frac{dv}{dt}(2)$$

ラプラス変換　$I_L(s)$, $V(s)$ をそれぞれのラプラス変換とする。微分の変換 $\mathcal{L}[f^{\prime }]=sF(s)-f(0)$ と $\mathcal{L}[E]=E/s$ を用いると、$(1)$, $(2)$ は
$$Ls{I}_L(s)=\frac{E}{s}-V(s),I_L(s)=\frac{V(s)}{R}+C(sV(s)-v_0)$$
となる（$i_L(0)=0$ を使った）。1 つ目から $I_L=\frac{1}{Ls}\left(\frac{E}{s}-V\right)$ を 2 つ目に代入し、両辺に $Ls$ を掛けると
$$\frac{E}{s}-V=\frac{Ls}{R}V+LC{s}^{2}V-LCs{v}_0$$
$$V(s)\left(LC{s}^2+\frac{L}{R}s+1\right)=\frac{E}{s}+LCs{v}_0$$
両辺を $LC$ で割って
$$V(s)=\frac{\frac{E}{LC}}{s\left(s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}\right)}+\frac{v_{0}s}{s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}}$$

数値を代入する。$RC=200\times 1\times 10^{-6}=2\times 10^{-4}\mathrm{s}$ より $\frac{1}{RC}=5000{\mathrm{s}}^{-1}$、$LC=0.25\times 1\times 10^{-6}=2.5\times 10^{-7}{\mathrm{s}}^2$ より $\frac{1}{LC}=4\times 10^6{\mathrm{s}}^{-2}$。
$$s^2+5000s+4\times 10^6=(s+1000)(s+4000)$$
であり、$\frac{E}{LC}=4\times 10^7$ なので
$$V(s)=\frac{4\times 10^7}{s(s+1000)(s+4000)}+\frac{20s}{(s+1000)(s+4000)}$$

部分分数分解　1 つ目の項を $\frac{A_0}{s}+\frac{A_1}{s+1000}+\frac{A_2}{s+4000}$ とおくと
$$A_0=\frac{4\times 10^7}{1000\times 4000}=10,A_1=\frac{4\times 10^7}{(-1000)(3000)}=-\frac{40}{3},A_2=\frac{4\times 10^7}{(-4000)(-3000)}=\frac{10}{3}$$
2 つ目の項を $\frac{B_1}{s+1000}+\frac{B_2}{s+4000}$ とおくと
$$B_1=\frac{20\times (-1000)}{3000}=-\frac{20}{3},B_2=\frac{20\times (-4000)}{-3000}=\frac{80}{3}$$
よって
$$V(s)=\frac{10}{s}-\frac{20}{s+1000}+\frac{30}{s+4000}$$

逆変換　${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s+a}\right]=e^{-at}$ より
$$v(t)=10-20e^{-1000t}+30e^{-4000t}$$

確認　$v(0)=10-20+30=20$ で初期条件を満たす。また $\frac{dv}{dt}(0)=20000-120000=-1\times 10^{5}V/s$ で、$(2)$ から求めた $\frac{dv}{dt}(0)=\frac{1}{C}\left(i_L(0)-\frac{v_0}{R}\right)=10^6\times (0-0.1)=-1\times 10^{5}V/s$ と一致する。$t\to \infty$ では $v\to 10\mathrm{V}=E$ となり、定常状態（コイルは短絡、コンデンサーは開放）とも合う。

答え: $v(t)=10-20e^{-1000t}+30e^{-4000t}$

コンデンサーの電圧を $v$、コイルの電流を $i$ とする。$L\frac{di}{dt}=E-v$、$C\frac{dv}{dt}=i-\frac{v}{R}$。初期条件は $v(0)=20$、$i(0)=0$。

ラプラス変換する（$V=\mathcal{L}[v]$）。$I(s)=\frac{E/s-V}{sL}$ より
$C(sV-20)=\frac{E/s-V}{sL}-\frac{V}{R}$。
整理して $V\left(s^{2}LC+\frac{L}{R}s+1\right)=\frac{E}{s}+20LCs+\frac{20L}{R}\cdot$（上式の両辺に $sL$ を掛けた形）。

数値を代入すると $LC=2.5\times 10^{-7}$、$L/R=1.25\times 10^{-3}$ なので、両辺を $LC$ で割って
$V(s^2+5000s+4\times 10^6)=\frac{4\times 10^7}{s}+20s+10^5$。
（$20(s+5000)=20s+10^5$。）
よって $V=\frac{20s^2+10^{5}s+4\times 10^7}{s(s+1000)(s+4000)}$。

部分分数分解：
$V=\frac{a_0}{s}+\frac{a_1}{s+1000}+\frac{a_2}{s+4000}$。
$a_0=\frac{4\times 10^7}{1000\cdot 4000}=10$。
$a_1=\frac{20\cdot 10^6-10^8+4\times 10^7}{(-1000)(3000)}=\frac{-4\times 10^7}{-3\times 10^6}\cdot$ ではなく符号を確認：分子 $=2\times 10^7-10^8+4\times 10^7=-4\times 10^7$、分母 $=(-1000)(3000)=-3\times 10^6$ …… ただし $s=-1000$ のとき $s(s+4000)=-1000\cdot 3000=-3\times 10^6$ なので $a_1=\frac{-4\times 10^7}{-3\times 10^6}$ ではなく、分子は $20s^2+10^{5}s+4\times 10^7$ を $s=-1000$ で評価すると $2\times 10^7-10^8+4\times 10^7=-4\times 10^7$ ではなく $-3.8\times 10^7$ ではないか確認する必要があるため、別の方法（微分方程式）で求める。

微分方程式による確認：$v^{\prime \prime }+5000v^{\prime }+4\times 10^{6}v=4\times 10^7$。特性根は $s=-1000,-4000$、定常解 $10$。
$v=10+a{e}^{-1000t}+b{e}^{-4000t}$。$v(0)=20$ より $a+b=10$。
$v^{\prime }(0)=\frac{i(0)-v(0)/R}{C}=\frac{-0.1}{10^{-6}}=-10^5$ より $-1000a-4000b=-10^5$、すなわち $a+4b=100$。
よって $b=30$、$a=-20$。

（ラプラス変換側の分子の正しい形は、$V(s^{2}LC+\frac{L}{R}s+1)=\frac{E}{s}+LC\cdot 20s+\frac{L}{R}\cdot 20$ であり、$20LCs+20L/R$ を $LC$ で割ると $20s+100000$、これは上記のとおり。$s=-1000$ で分子 $=-3.8\times 10^7$ ではなく、$\frac{4\times 10^7}{s}$ を含めて通分した分子 $20s^2+10^{5}s+4\times 10^7$ が正しい。再計算すると $s=-1000$：$2\times 10^7-10^8+4\times 10^7=-3.8\times 10^7$ ではなく $-4\times 10^7$ である。これを $-3\times 10^6$ で割ると $a_1=13.3$ となり微分方程式の結果と合わない。通分の誤りを正す：$\frac{4\times 10^7}{s}+20s+10^5$ を通分した分子は $4\times 10^7+20s^2+10^{5}s$ だが、左辺の $V$ の係数 $(s^2+5000s+4\times 10^6)$ を分母に移したため分母は $s(s+1000)(s+4000)$ であり、この式自体は正しい。$s=-1000$ の評価で $20s^2=2\times 10^7$、$10^{5}s=-10^8$、合計 $2\times 10^7-10^8+4\times 10^7=-4\times 10^7$。$s(s+4000)=-3\times 10^6$。$a_1=13.3$。一方、初期条件の変換を見直すと、$C(sV-20)$ の項は $V$ 側に $Cs$ を含むため、$sL$ を掛けると右辺の初期値項は $20LCs$ となり、$\frac{20L}{R}$ の項は現れない（抵抗の項に初期値はない）。したがって右辺は $\frac{E}{s}+20LCs$ で、$LC$ で割ると $\frac{4\times 10^7}{s}+20s$。分子は $20s^2+4\times 10^7$ となり、$s=-1000$ で $2\times 10^7+4\times 10^7=6\times 10^7$、$a_1=\frac{6\times 10^7}{-3\times 10^6}=-20$。$s=-4000$ で分子 $=3.2\times 10^8+4\times 10^7=3.6\times 10^8$、分母 $s(s+1000)=(-4000)(-3000)=1.2\times 10^7$、$a_2=30$。）

以上より $V=\frac{10}{s}-\frac{20}{s+1000}+\frac{30}{s+4000}$。逆変換して
$v(t)=10-20e^{-1000t}+30e^{-4000t}$。

検算：$v(0)=10-20+30=20$。$v^{\prime }(0)=20000-120000=-10^5$ で一致。$t\to \infty$ で $v\to 10=E$ で、定常状態（コイルは短絡、コンデンサーは開放）と一致。