RLC 回路の過渡現象

RLC を含む回路の $s$ 領域の式を立て、分母の 2 次式の根（実数の 2 根・重根・複素共役根）に応じて逆ラプラス変換し、過減衰・臨界減衰・減衰振動の電流や電圧を $t$ の式で求められる

前提

ラプラス変換による回路の s 領域表示と 1 次回路の過渡現象（大学物理電気回路）
ラプラス変換による微分方程式の解法（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

この技能までの道筋（128 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ラプラス変換と逆変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
電池の起電力・内部抵抗・端子電圧（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則の意味（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）
コイルを含む直流回路のスイッチ操作（高校物理電磁気と交流）
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
ラプラス変換による回路の s 領域表示と 1 次回路の過渡現象（大学物理電気回路）
変数分離形（大学数学微分方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）
ラプラス変換による微分方程式の解法（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

抵抗 $R$ ・コイル $L$ ・コンデンサー $C$ を含む回路でスイッチを入れたり切ったりした直後には、電流や電圧が一定値に落ち着くまでの過渡的な変化が起こります。RC や RL の回路と違い、RLC 回路では $s$ 領域の式の分母が $s$ の 2 次式になり、その根の種類によって、ゆっくり単調に落ち着く（過減衰）、最も速く振動せずに落ち着く（臨界減衰）、振動しながら小さくなる（減衰振動）の 3 通りの振る舞いに分かれます。この技能では、 $s$ 領域で式を立て、分母の 2 次式の根に応じて逆ラプラス変換し、電流や電圧を $t$ の式で求めます。

なぜそうしてよいのか

直列 RLC 回路に $t = 0$ で直流電圧 $E$ をかける場合（ $i (0^{-}) = 0$ , $v_{C} (0^{-}) = 0$ ）を考えます。 $s$ 領域では電源が $\frac{E}{s}$ 、各素子のインピーダンスが $R$ , $s L$ , $\frac{1}{s C}$ なので
$I (s) = \frac{E / s}{R + s L + \frac{1}{s C}} = \frac{E}{L} \cdot \frac{1}{s ^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{L C}}$
です。分母を $s^{2} + 2 α s + ω_{0}^{2}$ （ $α = \frac{R}{2 L}$ , $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ ）と書くと、平方完成して $(s + α)^{2} + (ω_{0}^{2} - α^{2})$ となり、根は $s = - α \pm α^{2} - ω_{0}^{2}$ です。根号の中の符号、つまり $R^{2}$ と $\frac{4 L}{C}$ の大小で場合が分かれます。

（1） $α > ω_{0}$ （ $R^{2} > \frac{4 L}{C}$ ）: 根は異なる 2 つの負の実数 $s_{1}, s_{2}$ 。部分分数分解 $\frac{1}{( s - s _{1} ) ( s - s _{2} )} = \frac{1}{s _{1} - s _{2}} (\frac{1}{s - s _{1}} - \frac{1}{s - s _{2}})$ から、2 つの減衰する指数関数の差になります（過減衰）。（2） $α = ω_{0}$ （ $R^{2} = \frac{4 L}{C}$ ）: 重根 $s = - α$ で、 $\frac{1}{( s + α ) ^{2}}$ は $t e^{- α t}$ の変換です（臨界減衰）。（3） $α < ω_{0}$ （ $R^{2} < \frac{4 L}{C}$ ）: $ω_{d} = ω_{0}^{2} - α^{2}$ とおくと分母は $(s + α)^{2} + ω_{d}^{2}$ で、 $\frac{ω _{d}}{( s + α ) ^{2} + ω _{d}^{2}}$ は $e^{- α t} sin ω_{d} t$ 、 $\frac{s + α}{( s + α ) ^{2} + ω _{d}^{2}}$ は $e^{- α t} cos ω_{d} t$ の変換です（ $sin ω_{d} t$ , $cos ω_{d} t$ の変換で $s$ を $s + α$ にずらすと $e^{- α t}$ がかかる）。これが減衰振動です。複素共役根を無理に部分分数分解しても同じ結果になりますが、オイラーの公式で整理する手間が増えるので、平方完成の形のまま変換表に合わせるのが楽です。

物理的には、 $α$ は抵抗によるエネルギーの損失の速さ、 $ω_{0}$ はコイルとコンデンサーの間でエネルギーがやりとりされる速さを表します。損失が大きいと振動する前にエネルギーが失われ（過減衰）、損失が小さいとエネルギーが $L$ と $C$ の間を往復しながら少しずつ失われます（減衰振動）。

手順

スイッチ操作の直前の $i_{L} (0^{-})$ と $v_{C} (0^{-})$ を求め、素子を $R$ , $s L$ , $\frac{1}{s C}$ と初期値を表す電源（ $L i_{L} (0^{-})$ の電圧源、 $\frac{v _{C} ( 0 ^{-} )}{s}$ の電圧源）で表した $s$ 領域の回路を描く
$s$ 領域でキルヒホッフの法則を使い、求めたい量を $\frac{N ( s )}{s ^{2} + 2 α s + ω _{0}^{2}}$ の形（必要なら分母にさらに $s$ がかかる形）で表す
分母の 2 次式を平方完成して $(s + α)^{2} + (ω_{0}^{2} - α^{2})$ とし、根が異なる 2 実根・重根・複素共役根のどれかを判定する
異なる 2 実根なら部分分数分解して $e^{s_{1} t}$ , $e^{s_{2} t}$ に、重根なら $\frac{1}{( s + α ) ^{2}} \to t e^{- α t}$ を使い、複素共役根なら分子を $(s + α)$ と $ω_{d}$ の組合せに直して $e^{- α t} cos ω_{d} t$ , $e^{- α t} sin ω_{d} t$ に逆変換する
$t = 0$ を代入して初期値と一致するか確かめる

例題

起電力 $E = 10 V$ の直流電源、スイッチ、抵抗 $R = 2 Ω$ 、自己インダクタンス $L = 1 H$ のコイル、電気容量 $C = 0.5 F$ のコンデンサーが直列に接続されている。はじめコンデンサーに電荷はなく、回路に電流は流れていない。時刻 $t = 0$ にスイッチを閉じる。 $t > 0$ で回路を流れる電流 $i (t)$ （電源の正極からコイル・抵抗・コンデンサーの順に流れる向きを正とする）を、 $t$ を秒単位の数としたときの $t$ の式（単位は A）で求めよ。

例題の解答

手順 1: $i (0^{-}) = 0$ , $v_{C} (0^{-}) = 0$ なので初期値を表す電源はない。電源は $\frac{10}{s}$ 、各素子は $2$ , $s$ , $\frac{1}{0.5 s} = \frac{2}{s}$ と表せる。

手順 2: 直列なので
$I (s) = \frac{10/ s}{2 + s + \frac{2}{s}} = \frac{10}{s ^{2} + 2 s + 2}$

手順 3: 平方完成すると $s^{2} + 2 s + 2 = (s + 1)^{2} + 1$ 。根は $s = - 1 \pm j$ の複素共役根で、 $α = 1$ , $ω_{d} = 1$ （ $R^{2} = 4 < \frac{4 L}{C} = 8$ と一致）。減衰振動になる。

手順 4: $I (s) = 10 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1 ^{2}}$ で、 $\frac{ω _{d}}{( s + α ) ^{2} + ω _{d}^{2}}$ は $e^{- α t} sin ω_{d} t$ の変換だから
$i (t) = 10 e^{- t} sin t$

手順 5: $i (0) = 0$ でコイルの初期電流と一致する。また $t \to \infty$ で $i \to 0$ （コンデンサーが $10 V$ まで充電されると電流は止まる）となり、物理的にも妥当。

答え: $10 e^{- t} sin t$

よくある誤り

複素共役根の場合に $ω_{d}$ で割り忘れる誤り。 $\frac{1}{( s + α ) ^{2} + ω _{d}^{2}}$ の逆変換は $e^{- α t} sin ω_{d} t$ ではなく $\frac{1}{ω _{d}} e^{- α t} sin ω_{d} t$ 。例えば $\frac{6}{( s + 1 ) ^{2} + 4}$ なら $3 e^{- t} sin 2 t$ であって $6 e^{- t} sin 2 t$ ではない
減衰振動の角周波数を $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ としてしまう誤り。振動の角周波数は $ω_{d} = ω_{0}^{2} - α^{2} = \frac{1}{L C} - \frac{R ^{2}}{4 L ^{2}}$ 。例題では $ω_{0} = 2$ だが $ω_{d} = 1$
重根の場合に $\frac{1}{( s + α ) ^{2}}$ を $e^{- α t}$ と逆変換してしまう誤り。正しくは $t e^{- α t}$ 。例えば $R = 2 Ω$ , $L = 1 H$ , $C = 1 F$ , $E = 10 V$ なら $I (s) = \frac{10}{( s + 1 ) ^{2}}$ で $i (t) = 10 t e^{- t}$
初期値を表す電源を入れ忘れる誤り。コンデンサーがはじめ $v_{C} (0^{-}) = V_{0}$ に充電されていれば、 $s$ 領域のコンデンサーは $\frac{1}{s C}$ と $\frac{V _{0}}{s}$ の電圧源の直列で表し、例えば直列回路では $I (s) = \frac{( E - V _{0} ) / s}{R + s L + \frac{1}{s C}}$ となる（ $E$ のままにしない）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
起電力 $E = 40 V$ の直流電源（内部抵抗は無視する）、スイッチ S、抵抗 $R = 60 Ω$ 、自己インダクタンス $L = 10 mH$ のコイル、電気容量 $C = 4.0 μ F$ のコンデンサーを直列につないだ回路がある。はじめ S は開いていて、コイルに電流は流れておらず（ $i (0^{-}) = 0$ ）、コンデンサーは帯電していない（ $v_{C} (0^{-}) = 0$ ）。時刻 $t = 0$ に S を閉じた。
コイルの抵抗と導線の抵抗は無視する。回路を $s$ 領域で表してラプラス変換を用い、 $t \geq 0$ で回路を流れる電流 $i (t)$ （A）を、 $t$ （s）を用いて表せ。電流の向きは、電源の正極から抵抗・コイル・コンデンサーを通って負極へ流れる向きを正とする。
$E = 40 V$ S $R = 60 Ω$ $L = 10 mH$ $C = 4.0 μ F$

RLC 回路の過渡現象

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題