コイルを含む直流回路のスイッチ操作

スイッチの開閉の直前と直後でコイルの電流が変わらないこと、十分時間がたつとコイルが導線（またはその導線の抵抗）とみなせることを使って各部の電流を求め、コイルのエネルギー $\frac{1}{2} L I^{2}$ が直列の抵抗に抵抗値の比で分配されることから、特定の抵抗で発生するジュール熱を求められる

前提

自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）

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算数中学高校大学大学院

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自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
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キルヒホッフの法則の意味（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）

説明

コイルを含む直流回路でスイッチを入れたり切ったりしたとき、操作の直前・直後と、十分時間がたったあとの各部の電流を求める技能です。あわせて、コイルに蓄えられていたエネルギー $\frac{1}{2} L I^{2}$ が、どの抵抗でどれだけのジュール熱になるかも求めます。スイッチを切ったあとに抵抗が発熱する問題や、コイルの両端に大きな電圧が生じる問題で使います。

なぜそうしてよいのか

コイルには自己誘導起電力 $V = - L \frac{Δ I}{Δ t}$ が生じます。もしコイルの電流が一瞬で変わったとすると、 $Δ t \to 0$ なので $\frac{Δ I}{Δ t}$ が限りなく大きくなり、限りなく大きな起電力が必要になります。現実の回路ではそうならないので、スイッチの開閉の直前と直後で、コイルを流れる電流の大きさと向きは変わりません（スイッチを入れた直後に電流 0 のコイルは、その瞬間は電流を通さない部分のようにふるまいます）。一方、十分時間がたつと電流は一定になり、 $\frac{Δ I}{Δ t} = 0$ なので起電力も 0 です。そのためコイルの両端の電圧は 0 となり、コイルはただの導線（コイルの導線に抵抗 $r$ があればその抵抗 $r$ ）とみなせます。

電池を含まない閉回路にコイルの電流 $I_{0}$ が流れ続け、やがて 0 になる場合、エネルギーを補う電池がないので、コイルに蓄えられていた $U = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ はすべて回路の抵抗のジュール熱になります。その閉回路で抵抗 $R_{1}, R_{2}, \dots$ が直列につながっていれば、どの瞬間もそれらには同じ電流 $i$ が流れ、消費電力は $i^{2} R_{1} : i^{2} R_{2} : \dots = R_{1} : R_{2} : \dots$ です。どの瞬間も比が同じなので、合計のジュール熱も抵抗値の比に分かれ、 $Q_{k} = U \cdot \frac{R _{k}}{R _{1} + R _{2} + \dots}$ となります。

手順

スイッチ操作の前に十分時間がたっている状態で、コイルを導線（抵抗があればその抵抗）とみなし、オームの法則・キルヒホッフの法則でコイルの電流 $I_{0}$ を求める
スイッチ操作の直後は、コイルの電流が直前と同じ $I_{0}$ （同じ向き）であるとして、キルヒホッフの法則でほかの部分の電流や電圧を求める
操作後に十分時間がたったときは、再びコイルを導線（またはその抵抗）とみなして各部の電流を求める
電池を含まない閉回路でコイルの電流が $I_{0}$ から 0 になるときは、発生するジュール熱の合計が $U = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ であるとする
その閉回路の直列の抵抗のうち $R_{k}$ で発生するジュール熱を $Q_{k} = U \cdot \frac{R _{k}}{( 閉回路の抵抗値の和 )}$ で求める

例題

起電力 $12 V$ で内部抵抗の無視できる電池の正極から、スイッチ S、抵抗値 $4.0 Ω$ の抵抗 $R_{1}$ の順につなぎ、その先を点 P とする。点 P と点 Q の間に、自己インダクタンス $0.50 H$ で導線の抵抗が無視できるコイル L をつなぐ。さらに点 P と点 Q の間に、抵抗値 $2.0 Ω$ の抵抗 $R_{2}$ と抵抗値 $4.0 Ω$ の抵抗 $R_{3}$ を直列にしたものを、コイルと並列につなぐ。点 Q は電池の負極につながっている。S を閉じて十分時間がたったあと、S を開いた。S を開いてから十分時間がたつまでに抵抗 $R_{2}$ で発生するジュール熱は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。導線の抵抗は無視する。

例題の解答

手順1：S を閉じて十分時間がたつと、コイルは導線とみなせる。P と Q の間が導線でつながるので P と Q の電位は等しく、 $R_{2}, R_{3}$ の両端の電圧は 0 で、そこには電流が流れない。よってコイルの電流は $I_{0} = \frac{12}{4.0} = 3.0 A$ （P から Q の向き）。
手順2：S を開いた直後も、コイルには P→Q の向きに $3.0 A$ が流れる。電池と $R_{1}$ の枝は S が開いて電流が流れないので、この電流はコイル→Q→ $R_{3}$ , $R_{2}$ →P と回る閉回路を流れる。
手順3：十分時間がたつと、この閉回路には電池がないので電流は 0 になる。
手順4：電池のない閉回路で電流が $3.0 A$ から 0 になるので、発生するジュール熱の合計は $U = \frac{1}{2} \times 0.50 \times 3. 0^{2} = 2.25 J$ 。
手順5： $R_{2}$ と $R_{3}$ は直列なので、 $R_{2}$ で発生するジュール熱は $Q_{2} = 2.25 \times \frac{2.0}{2.0 + 4.0} = 0.75 J$ 。

答え: $0.75$

よくある誤り

S を開いた瞬間にコイルの電流も 0 になるとしてしまう誤り。正しくは、コイルの電流は直前の $I_{0} = \frac{12}{4.0} = 3.0 A$ のまま流れ続け、 $R_{2}, R_{3}$ を通る閉回路を回る。
十分時間がたったときの電流を $I_{0} = \frac{E}{R _{1} + R _{2} + R _{3}} = \frac{12}{10} A$ としてしまう誤り。正しくは、コイルが導線とみなせて $R_{2}, R_{3}$ には電流が流れないので、 $I_{0} = \frac{E}{R _{1}} = 3.0 A$ 。
コイルのエネルギーがすべて $R_{2}$ の発熱になるとして $Q_{2} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = 2.25 J$ としてしまう誤り。正しくは、直列の $R_{3}$ とで分け合い $Q_{2} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} \cdot \frac{R _{2}}{R _{2} + R _{3}}$ 。
並列のときのように抵抗値の逆比で分けて $Q_{2} = U \cdot \frac{R _{3}}{R _{2} + R _{3}}$ としてしまう誤り。正しくは、直列では同じ電流が流れて電力が $i^{2} R$ なので、抵抗値に比例して $Q_{2} = U \cdot \frac{R _{2}}{R _{2} + R _{3}}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
起電力 $V$ で内部抵抗の無視できる電池、スイッチ S、抵抗値 $R$ の抵抗 $R_{1}$ 、抵抗値 $2 R$ の抵抗 $R_{2}$ 、自己インダクタンス $L$ で導線の抵抗が $R$ のコイルを、次のようにつないだ。
- 電池の正極からスイッチ S、抵抗 $R_{1}$ をこの順に直列につなぎ、 $R_{1}$ のもう一方の端を点 P とする。
- 点 P と点 Q の間に、コイルと抵抗 $R_{2}$ を並列につなぐ。
- 点 Q を電池の負極につなぐ。
はじめ S を閉じて十分に時間がたち、各部の電流が一定になった。その後 S を開いた。S を開いてから電流が流れなくなるまでの間に、抵抗 $R_{2}$ で発生するジュール熱を、 $L$ , $V$ , $R$ を用いて表せ。ただし、導線の抵抗（コイルの導線を除く）は無視でき、コイルの外に漏れる磁場や電磁波の放射は考えないものとする。
$P$ $Q$ $V$ S $R_{1}$ $L$ $R_{2}$

この技能の次に学べること

ラプラス変換による回路の s 領域表示と 1 次回路の過渡現象（大学物理電気回路）